Brief Description
求一个无向图的严格次小生成树。
Algorithm Design
考察最小生成树的生成过程。对于一个非树边而言，如果我们使用这一条非树边去替换原MST的路径上的最大边，可以证明仍然满足生成树性质，而且这个生成树的大小一定不小于原生成树，那么枚举所有这样的非树边，尝试去替换，找到最小值就可以了。
那么问题就转化成了求树上两个点的最大/最小距离，这是树上倍增的经典应用，可以知道：
[Max(x,i) = max(Max(x,i-1), Max(fa(x,i-1),i-1))
]
我们可以通过递推用(Theta(nlogn))时间预处理出来这些信息。
问题解决了吗？还没有。原题要求严格小于原树。所以我们顺便预处理一下树上两个点的次大值就可以了。
Code
#include <algorithm>
#include <cstdio>
using std::max;
using std::min;
const int maxn = 100001;
const int maxm = 300001;
const int inf = 0x3f3f3f;
#define ll long long
int n, m, tot, cnt, mn = inf;
ll ans;
int f[maxn], head[maxn], deep[maxn], fa[maxn][17], d1[maxn][17], d2[maxn][17];
struct data {
int x, y, v;
bool sel;
bool operator<(const data b) const { return this->v < b.v; }
} a[maxm];
struct edge {
int to, next, v;
} e[maxn << 1];
void ins(int u, int v, int w) {
e[++cnt].to = v;
e[cnt].next = head[u];
e[cnt].v = w;
head[u] = cnt;
}
int find(int x) { return f[x] == x ? x : f[x] = find(f[x]); }
void dfs(int x, int f) {
for (int i = 1; i <= 16; i++) {
if (deep[x] < (1 << i))
break;
fa[x][i] = fa[fa[x][i - 1]][i - 1];
d1[x][i] = max(d1[x][i - 1], d1[fa[x][i - 1]][i - 1]);
if (d1[x][i - 1] == d1[fa[x][i - 1]][i - 1])
d2[x][i] = max(d2[x][i - 1], d2[fa[x][i - 1]][i - 1]);
else {
d2[x][i] = min(d1[x][i - 1], d1[fa[x][i - 1]][i - 1]);
d2[x][i] = max(d2[x][i], d2[x][i - 1]);
d2[x][i] = max(d2[x][i], d2[fa[x][i - 1]][i - 1]);
}
}
for (int i = head[x]; i; i = e[i].next) {
if (e[i].to != f) {
fa[e[i].to][0] = x;
d1[e[i].to][0] = e[i].v;
deep[e[i].to] = deep[x] + 1;
dfs(e[i].to, x);
}
}
}
int lca(int x, int y) {
if (deep[x] < deep[y])
std::swap(x, y);
int t = deep[x] - deep[y];
for (int i = 0; i <= 16; i++)
if (t & (1 << i))
x = fa[x][i];
for (int i = 16; i >= 0; i--)
if (fa[x][i] != fa[y][i])
x = fa[x][i], y = fa[y][i];
if (x == y)
return x;
return fa[x][0];
}
void cal(int x, int f, int v) {
int mx1 = 0, mx2 = 0;
int t = deep[x] - deep[f];
for (int i = 0; i <= 16; i++) {
if (t & (1 << i)) {
if (d1[x][i] > mx1) {
mx2 = mx1;
mx1 = d1[x][i];
}
mx2 = max(mx2, d2[x][i]);
x = fa[x][i];
}
}
if (mx1 != v)
mn = min(mn, v - mx1);
else
mn = min(mn, v - mx2);
}
void solve(int t, int v) {
int x = a[t].x, y = a[t].y, f = lca(x, y);
cal(x, f, v);
cal(y, f, v);
}
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("input", "r", stdin);
#endif
scanf("%d %d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= n; i++)
f[i] = i;
for (int i = 1; i <= m; i++)
scanf("%d %d %d", &a[i].x, &a[i].y, &a[i].v);
std::sort(a + 1, a + m + 1);
for (int i = 1; i <= m; i++) {
int p = find(a[i].x), q = find(a[i].y);
if (p != q) {
f[p] = q;
ans += a[i].v;
a[i].sel = 1;
ins(a[i].x, a[i].y, a[i].v);
ins(a[i].y, a[i].x, a[i].v);
tot++;
if (tot == n - 1)
break;
}
}
dfs(1, 0);
for (int i = 1; i <= m; i++)
if (!a[i].sel)
solve(i, a[i].v);
printf("%lld
", ans + mn);
}