CodeForces 785D Anton and School

题意：

给你一串括号 问你有多少种匹配的子串

就是前半部分都是'(' 后半部分都是')'的子串

思路：

首先我们预处理

当前位置之前有多少左括号 和 当前位置之后有多少右括号

对于每一个处于i位置的左括号

我们将ans+=C(left[i]+right[i]-1,right[i]-1)

这个式子是C(i-1,left[i]-1)*C(i+1,right[i])化简来的

因为选的数总数是不变的 所以可以化简(?)

就是从左边选i-1个左括号 从右边选i+1个右括号

因为自己是必选的 所以左括号-1

#include<bits/stdc++.h>
#define cl(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define debug(a) cerr<<#a<<"=="<<a<<endl
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;

const int maxn=2e5+10;
const int mod=1e9+7;

ll fac[maxn];

ll quick_pow(ll a,ll n)
{
    ll ans=1;
    while(n)
    {
        if(n%2) ans=1ll*ans*a%mod;
        a=1ll*a*a%mod;
        n>>=1;
    }
    return ans;
}

ll inv(ll a)
{
    return quick_pow(a,mod-2);
}

void init()
{
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<maxn;i++)
    {
        fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
    }
}

ll C(ll a,ll b)
{
    ll ans=1;
    if(a<b || b<0) return 0;
    while(a&&b)
    {
        ll aa=a%mod,bb=b%mod;
        if(aa<bb) return 0;;
        ans = 1ll*ans*fac[aa]%mod * inv(1ll*fac[bb]*fac[aa-bb]%mod)%mod;
        a/=mod,b/=mod;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    string str;
    cin>>str;
    int sz=str.size();
    vector<int>left(sz,0),right(sz,0);
    if(str[0]=='(') left[0]=1;
    for(int i=1;i<sz;i++)
    {
        left[i]=left[i-1]+(str[i]=='(');
    }
    if(str[sz-1]==')') right[sz-1]=1;
    for(int i=sz-2;i>=0;i--)
    {
        right[i]=right[i+1]+(str[i]==')');
    }
    ll ans=0;
    init();
    for(int i=0;i<sz;i++)
    {
        if(str[i]=='(')
        {
            ans+=C(left[i]+right[i]-1,right[i]-1);
            ans%=mod;
        }
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}/*

)(()()

*/