cf785D(组合数学)

题目链接: http://codeforces.com/problemset/problem/785/D

题意: 左边全为 '(' 右边全为 ')' 且两者数量想等的字符串称为 RSBS. 给出一个由 '(' 和 ')' 组成的字符串, 问其有多少子序列是 RSBS.

思路: 可以先预处理一下, 用 a[i] 记录 i 前面(包括 i 这个位置)的 '(' 的数目, b[i] 记录 i 后面(包括 i 这个位置)的 ')' 的数目, 然后从左往右枚举以 '(' 结尾的情况,

那么当前情况下的 RSBS 数目为:

C(a[i] - 1, 0) * C(b[i], 1) + C(a[i] - 1, 1) * C(b[i], 2) + C(a[i] - 1, 2) * C(b[i], 3) + ... 

= ∑^{min(a-1, b-1)}₀  C(a - 1, x) * C(b, x + 1)

= ∑^{min(a-1, b-1)}₀  C(a - 1, a - 1 - x) * C(b, x + 1)

= C(a - 1 + b, a) (范德蒙恒等式)

然后将所有情况的 RSBS 数目累加一下就好啦.

注意这里的组合数比较大, 取模的话需要用到 exgcd 或者 快速幂.

代码1: 快速幂求组合数取模 C(n, m) % mode = (n! % mode) * get_pow((n - m)! * m! % mode, mode - 2) % mode. (这个公式能通过费马小定理变换得到).

#include <iostream>
#define ll long long
using namespace std;

const int mode = 1e9 + 7;
const int MAXN = 2e5 + 10;
ll a[MAXN], b[MAXN], gel[MAXN];
string s;

ll get_pow(ll x, int n){
    ll ans = 1;
    while(n){
        if(n & 1) ans = ans * x % mode;
        x = x * x % mode;
        n >>= 1;
    }
    return ans;
}

int main(void){
    ll ans = 0;
    cin >> s;
    if(s[0] == '(') a[0] = 1;
    for(int i = 1; i < s.size(); i++){
        if(s[i] == '(') a[i] = a[i - 1] + 1;
        else a[i] = a[i - 1];
    }
    for(int i = s.size() - 1; i >= 0; i--){
        if(s[i] == ')') b[i] = b[i + 1] + 1;
        else b[i] = b[i + 1];
    }
    gel[0] = 1;
    for(int i = 1; i < MAXN; i++){
        gel[i] = gel[i - 1] * i % mode;
    }
    for(int i = 0; i < s.size(); i++){
        if(s[i] == ')') continue;
        ll cnt1 = a[i], cnt2 = a[i] + b[i] - 1;
        ans = (ans + (gel[cnt2] * get_pow(gel[cnt1] * gel[cnt2 - cnt1] % mode, mode - 2)) % mode) % mode;
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

代码2: 用乘法逆元求得组合数取模

#include <iostream>
#define ll long long
using namespace std;

const int mode = 1e9 + 7;
const int MAXN = 2e5 + 10;
ll a[MAXN], b[MAXN], gel[MAXN];
string s;

void exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y){
    if(!b){
        y = 0;
        x = 1;
        return;
    }
    exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
}

int main(void){
    ll ans = 0;
    cin >> s;
    if(s[0] == '(') a[0] = 1;
    for(int i = 1; i < s.size(); i++){
        if(s[i] == '(') a[i] = a[i - 1] + 1;
        else a[i] = a[i - 1];
    }
    for(int i = s.size() - 1; i >= 0; i--){
        if(s[i] == ')') b[i] = b[i + 1] + 1;
        else b[i] = b[i + 1];
    }
    gel[0] = 1;
    for(int i = 1; i < MAXN; i++){
        gel[i] = gel[i - 1] * i % mode;
    }
    for(int i = 0; i < s.size(); i++){
        if(s[i] == ')') continue;
        ll cnt1 = a[i], cnt2 = a[i] + b[i] - 1;
        ll cc1 = gel[cnt2], cc2 = gel[cnt2 - cnt1] * gel[cnt1] % mode;
        ll x, y;
        exgcd(cc2, mode, x, y);
        x = (x % mode + mode) % mode;
        ans = (ans + (cc1 * x) % mode) % mode;

    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}