一.基本概念
1.桥：若无向连通图的边割集中只有一条边，则称这条边为割边或者桥 (离散书上给出的定义。。
通俗的来说就是无向连通图中的某条边，删除后得到的新图联通分支至少为2(即不连通；
2.割点：若无向连通图的点割集中只有一个点，则称这个点为割点或者关节点 ；
通俗的来说就是无向连通图中的某条边，删除后得到的新图连通分支至少为2；
二：tarjan算法求割点和桥
1.割点：1）当前节点为树根的时候，条件是“要有多余一棵子树”；
如果这有一颗子树，去掉这个点也没有影响，如果有两颗子树，去掉这点，两颗子树就不连通了；
2）当前节点u不是树根的时候，条件是“low[v]>=dfn[u]”，也就是在u之后遍历的点，能够向上翻，
最多到u，如果能翻到u的上方，那就有环了，去掉u之后，图仍然连通。
2.桥：若一条无向边（u，v）是桥，
1）当且仅当无向边（u，v）是树枝边，需要满足dfn(u)<low(v)，即v向上翻不到u及其以上的点，
那么u--v之间一定能够有1条或者多条边不能删去， 因为他们之间有部分无环，是桥，
如果v能上翻到u那么u--v就是一个环，删除其中一条路径后，仍然是连通的。
3.注意点：1）求桥的时候：因为边是无方向的，所以父亲孩子节点的关系需要自己规定一下，
在tarjan的过程中if（v不是u的父节点） low[u]=min(low[u],dfn[v]);
因为如果v是u的父亲，那么这条无向边就被误认为是环了。
2）找桥的时候：注意看看有没有重边，有重边的边一定不是桥，也要避免误判。
4.也可以先进行tarjan()，求出每一个点的dfn和low，并记录dfs过程中的每个点的父节点，
遍历所有点的low，dfn来寻找桥和割点
代码：
1 #include <iostream> 2 #include <stdio.h> 3 #include <vector> 4 #include <string.h> 5 using namespace std; 6 7 const int MAXN=1e5+10; 8 vector<int> mp[MAXN]; 9 bool is_cut[MAXN]; 10 int n, m, count=0; 11 int low[MAXN], dfn[MAXN], pre[MAXN];//pre[u]记录u的父亲节点编号 12 //dfn[u]记录节点u在DFS过程中被遍历到的次序号，low[u]记录节点u或u的子树通过非父子边追溯到最早的祖先节点（即DFS次序号最小 13 14 void tarjan(int u, int fu){ 15 pre[u]=fu;//记录当前u的父亲节点 16 dfn[u]=low[u]=count++; 17 for(int i=0; i<mp[u].size(); i++){ 18 int v=mp[u][i]; 19 if(dfn[v]==-1){ 20 tarjan(v, u); 21 low[u]=min(low[u], low[v]); 22 }else if(fu!=v){//如果v是u的父亲的话，即有重边，那么不可能是桥 23 low[u]=min(low[u], dfn[v]); 24 } 25 } 26 } 27 28 void solve(void){ 29 int rootson=0; 30 tarjan(1, 0); 31 for(int i=2; i<=n; i++){ 32 int v=pre[i]; 33 if(v==1){ 34 rootson++;//统计根节点的子树个数，若其不小于2,即为割点 35 }else if(low[i]>=dfn[v]){ 36 is_cut[v]=true; 37 } 38 } 39 if(rootson>1) is_cut[1]=true; 40 puts("割点为："); 41 for(int i=1; i<=n; i++){//输出割点 42 if(is_cut[i]){ 43 printf("%d ", i); 44 } 45 } 46 puts(" 桥为："); 47 for(int i=1; i<=n; i++){ 48 int v=pre[i]; 49 if(v>0&&low[i]>dfn[v]){ 50 printf("%d %d ", v, i); 51 } 52 } 53 puts(""); 54 } 55 56 int main(void){ 57 scanf("%d%d", &n, &m); 58 for(int i=0; i<m; i++){ 59 int x, y; 60 scanf("%d%d", &x, &y); 61 mp[x].push_back(y); 62 mp[y].push_back(x); 63 } 64 memset(dfn, -1, sizeof(dfn)); 65 memset(low, -1, sizeof(low)); 66 solve(); 67 return 0; 68 }
求桥的另一种写法(更快一点):
1 #include <iostream> 2 #include <stdio.h> 3 #include <string.h> 4 using namespace std; 5 6 const int MAXN = 1e5 + 10; 7 8 struct node{ 9 int v, next, use; 10 }edge[MAXN << 2]; 11 12 bool bridge[MAXN]; 13 int low[MAXN], dfn[MAXN], vis[MAXN]; 14 int head[MAXN], pre[MAXN], ip, sol, count; 15 16 void init(void){ 17 memset(head, -1, sizeof(head)); 18 memset(vis, false, sizeof(vis)); 19 memset(bridge, false, sizeof(bridge)); 20 count = sol = ip = 0; 21 } 22 23 void addedge(int u, int v){ 24 edge[ip].v = v; 25 edge[ip].use = 0; 26 edge[ip].next = head[u]; 27 head[u] = ip++; 28 } 29 30 void tarjan(int u){ 31 vis[u] = 1; 32 dfn[u] = low[u] = count++; 33 for(int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next){ 34 if(!edge[i].use){ 35 edge[i].use = edge[i ^ 1].use = 1; 36 int v = edge[i].v; 37 if(!vis[v]){ 38 pre[v] = u; 39 tarjan(v); 40 low[u] = min(low[u], low[v]); 41 if(dfn[u] < low[v]){ 42 sol++; 43 bridge[v] = true; 44 } 45 }else if(vis[v] == 1){ 46 low[u] = min(low[u], dfn[v]); 47 } 48 } 49 } 50 vis[u] = 2; 51 } 52 53 int main(void){ 54 int n, m, q, x, y, cas = 1; 55 while(~scanf("%d%d", &n, &m)){ 56 if(!n && !m) break; 57 init(); 58 for(int i = 0; i < m; i++){ 59 scanf("%d%d", &x, &y); 60 addedge(x, y); 61 addedge(y, x); 62 } 63 pre[1] = 1; 64 tarjan(1); 65 for(int i = 1; i <= n; i++){ 66 if(bridge[i]) cout << i << " " << pre[i] << endl; 67 } 68 } 69 return 0; 70 }