一个多元函数的梯度方向是该函数值增大最陡的方向。对于一元函数而言，梯度方向是沿着曲线切线的，然后取切线向上增长的方向为梯度方向。对于二元或多元函数而言，梯度向量为函数F对每个变量的导数，该向量的方向就是梯度的方向。
上图为一元二次函数的曲线图，可以看出：在最低点的左边部分，每一点的梯度方向值都是负值，因为每一点的斜率都是小于0的，所以当变量沿着梯度的方向递进，函数值越来越大，从上图可以很明显看出；同理右边，每一点的梯度方向都是大于0的，所以沿着梯度方向，函数值也是越来越大。所以，函数的梯度方向总是函数值越来越大的方向。因此，我们要想求最小值，就应该沿着梯度的反方向进行，这正是梯度下降法的原理。
梯度下降法（梯度上升法应该也适用）迭代结束的条件，常用的有两种：
一、定义一个合理的阈值，当两次迭代之间的差值小于该阈值时，迭代结束。
二、设置一个大概的迭代步数，比如1000或500，梯度下降法最终的迭代肯定会收敛，只要达到相应迭代次数，多了也没关系。因为迭代次数多了后，在
到达极值点时，函数对变量的导数已近乎为0，即使过了极值点，导数就变为正数了，之前的导数为负数。这个时候，变量x的值减去步长与导数的乘
积反倒变小了。所以即使步数多了，结果也基本上就在极值点处左右徘徊，几乎等于极值点，因此没有问题。
为什么梯度是下降最快的方向呢？
其实下降最快的方向在数学上被称为梯度方向而已，所以并不是什么梯度下降最快，而是最快的方向就被定义为梯度。那么什么方向下降最快呢，所谓下降最快其实就是这一点的斜率最大的方向。
上图Duf(x,y)表示的是曲面上任意方向的变化速率，即该点对应的斜率，因为曲面上过某点的切线有无数条，曲线上是只有一条。
根据上述解释我们举例函数z=x+y，依据上面推到则A=(1,1),I=(cosθ，sinθ)，θ是任意变化速率方向与X轴的夹角，如下图所示：
所以当向量I转到与A平行的时候，方向导数最大，因为这个时候I跟A的夹角为0，斜率就等于|A|=√(12+12)=√2 ，此时I与X轴与y轴的夹角都为45°，因为A的方向是（1,1），所以这个时候sinθ和cosθ都是1/√2，然后fx(x,y)sinθ+fy(x,y)cosθ=√2 。
从几何图示上来解释，其实我们求的这个斜率就是针对x，y的变化，所引起的z轴数值的变化速率，当x，y从点（0,0）沿着梯度方向（1,1）变化的时候，z值由0变成了2，如下图所示：
而x和y共同走的是下面的√2，所以斜率为2/√2=√2。同理如果梯度是（1,2），则梯度方向的斜率为√5，几何意义参考上图。
参考：https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzI4MDYzNzg4Mw==&mid=2247483704&idx=1&sn=8f0c6e33ef84c26823e562be16bce684&chksm=ebb439ecdcc3b0fa4e9571deb33ccea62e42034c88db4e190633588307dce4a1e0c91ed2635c&scene=21#wechat_redirect