假设有一个拟阵(M=(S,I)),它的最大权独立集为(U)。现在往(S)中加入一个元素(x),并且在(I)中加入一些包含(x)的集合,得到拟阵(M'=(S',I'))。那么(M')的最大独立集(U')要么是(Ucup x),要么是加入(x)后去掉一个权值最小的元素,满足去掉这个元素以后剩下的是独立集。
证明:如果(Ucup x)是独立集,显然成立。
否则加入(x)后会删除一个在(U)中的元素(y)。假设因为删除(y)的影响,一个原本不在(U)中的(z)加入了(U'),设原本(U)中权值(ge val_z)的元素构成的集合除掉(x,y,z)外是(Q)。那么(Qcup x cup z)是独立集,(Q cup y)也是独立集,根据交换性质(x,z)中至少有一个元素可以加入(Qcup y)。如果这个元素是(x),那么(Qcup xcup y)是独立集,显然不可能删除(y),产生矛盾。否则这个元素是(z),说明(Qcup y cup z)是独立集,根据贪心算法的过程,这与(z)不在(U)中矛盾。
有了这个性质可以证明一些东西,比如结合二分图拟阵可以证明昨天T3的结论。