动态规划之0-1背包问题

      给定n个物品和一个背包，物品i的重量是wi，其价值是vi，背包的容量为w，及最大载重量不超过W，在限定的总重量W内，我们如何选择物品，才能使物品的总价值最大。

  具体问题：

      有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，现在给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

     m(i,j)表示当前背包的容量为j，可选择的物品范围为i,i+1,i+2....n。所以背包问题的递推式如下

     m(i,j)={max{ m(i+1,j) ,m(i+1,j-w[i])+v[i]}(wi<=j), m(i+1,j)(wi>j)};(但看公式还是比较抽象的)

下面具体的分析

现在我们才去的分析方法是从左往右，从下往上。

首先动态规划过程的表如下

这张表是从下往上从左往右的分析

当i=5时表示当前只有e一个物体，j从1到10慢慢增加表示背包容量在不断的增大，当j<=3的时候，背包的当前容量是小于e的，所以此时不能将物品加入到背包当中。当j>=4的时候恰好只有一个e所以背包最大为6。

当i=1,j=8的时候m[2][8]=9(不加上a),当加上a之后之后m[i+1][j-w[i]]+v[i]=m[2][6]+v[1]=9+6=15.根据前面的公式m[i][j]=m[1][8]=15/其他的分析也是一样的。不过要注意顺序是从左往右，从下往上。

代码如下

#include <iostream>

using namespace std;

int n=5;//物品的件数
int c=10;//背包的容量
int w[]={0,2,2,6,5,4};//物品的重量
int v[]={0,6,3,5,4,6};//物品的价值
int m[6][11]={0};//记录规划过程
int x[100];//保存路径

void knapsack()
{
    for(int i=0;i<=c;i++)
        if(w[n]<i)
            m[n][i]=v[n];
        else
        m[n][i]=0;

    //放置剩余的n-1个元素
    int i;
    for(i=n-1;i>=1;i--)
        for(int j=0;j<=c;j++)
            if(w[i]>j)
                m[i][j]=m[i+1][j];
            else
                m[i][j]=m[i+1][j]>m[i+1][j-w[i]]+v[i]?m[i+1][j]:m[i+1][j-w[i]]+v[i];
}

void tracesack()
{
    int t=c;
    for(int i=1;i<n;i++)
        if(m[i][t]==m[i+1][t])
            x[i]=0;
        else
        {
            x[i]=1;
            t-=w[i];
        }
        x[n]=m[n][t]?1:0;
}

int main()
{
    knapsack();
    tracesack();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        printf("%d ",x[i]);
    printf("
%d",m[1][c]);
    return 0;
}