第2章 数字之魅——斐波那契（Fibonacci）数列

斐波那契（Fibonacci）数列

问题描述

递归算法：

package chapter2shuzizhimei.fibonacci;
/**
 * Fibonacci数列递归求解
 * @author DELL
 *
 */
public class Fibonacci1 {
    public static int fibonacci(int n){
        if(n<=0)
            return 0;
        else if(n==1)
            return 1;
        else
            return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2);
    }
    public static void main(String[] args) {
        int n = 3;
        System.out.println("fibonacci("+n+") = "+fibonacci(n));

    }

}

我们的问题是：有没有更加优化的解法？

分析与解法

【解法一】递推关系的优化

上述递归算法中有着很多的重复计算，利用一个数组存储中间结果避免重复计算。时间复杂度为O(N)，空间复杂度也为O(N)。

算法如下：

package chapter2shuzizhimei.fibonacci;
/**
 * Fibonacci数列求解
 * 【解法一】递推关系的优化
 * @author DELL
 *
 */
public class Fibonacci2 {
    private static int f[];
    public Fibonacci2(int n){
        f = new int[n+1];
        for(int i=0;i<n;i++){
            f[i]=-1;
        }
    }
    public static int fibonacci(int n){
        if(n<=0){
            f[0]=0;
            return 0;
        }
        else if(n==1){
            f[1]=1;
            return 1;
        }
        else{
            if(f[n-1]==-1){
                if(f[n-2]==-1)
                    return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2);
                else
                    return fibonacci(n-1)+f[n-2];
            }else{
                    return f[n-1]+f[n-2];
            }
        }            
    }
    public static void main(String[] args) {
        int n = 3;
        new Fibonacci2(n);
        System.out.println("fibonacci("+n+") = "+fibonacci(n));

    }

}

程序运行结果如下：

fibonacci(3) = 2

【解法二】采用非递归求解

算法如下：

package chapter2shuzizhimei.fibonacci;
/**
 * Fibonacci数列求解
 * 【解法二】非递归
 * @author DELL
 *
 */
public class Fibonacci3 {
    public static int fibonacci(int n){
        if(n<=0)
            return 0;
        else if(n==1)
            return 1;
        else{
            int f0 = 0,f1 = 1,f2 = 0;
            for(int i=2;i<=n;i++){
                f2 = f0 + f1;
                f0 = f1;
                f1 = f2;
            }
            return f2;
        }
    }
    public static void main(String[] args) {
        int n = 3;
        System.out.println("fibonacci("+n+") = "+fibonacci(n));

    }

}

程序运行结果如下：

fibonacci(3) = 2

【解法三】求解通项公式

 

算法代码如下：

package chapter2shuzizhimei.fibonacci;
/**
 * Fibonacci数列求解
 * 【解法三】求解通项公式
 * @author DELL
 *
 */
public class Fibonacci4 {
    public static long fibonacci(int n){
        double x = Math.sqrt(5);
        double f = (x/5)*Math.pow((1+x)/2, n) - (x/5)*Math.pow((1-x)/2, n);
        return Math.round(f);
    }
    public static void main(String[] args) {
        int n = 3;
        System.out.println("fibonacci("+n+") = "+fibonacci(n));

    }

}

程序运行结果如下：

fibonacci(3) = 2

【解法四】分治策略

 要先导入JAMA：Java矩阵包

package chapter2shuzizhimei.fibonacci;

import Jama.Matrix;

/**
 * Fibonacci数列求解
 * 【解法四】分治策略
 * @author DELL
 *
 */
public class Fibonacci5 {
    //求解矩阵A的n次方
    public static Matrix MatrixPow(Matrix A, int n){
        int m = A.getColumnDimension();
        Matrix result = new Matrix(m,m); //生成全为0的矩阵
        for(int i=0;i<m;i++){  //变成单位矩阵
            result.set(i, i, 1);
        }
        Matrix temp = A;
        while(n!=0){
            if((n&0x01)==1)
                result = result.times(temp);  //矩阵的乘法
            temp = temp.times(temp);
            n >>= 1;
        }
        return result;
    }
    //计算Fibonacci数列
    public static long fibonacci(int n){
        if(n<=0)
            return 0;
        else if(n==1)
            return 1;
        else{
            Matrix A = new Matrix(2,2,1); //生成全为1的矩阵
            A.set(1, 1, 0);
            Matrix B = MatrixPow(A, n-1);
            return (long) B.get(0, 0);
        }
    }
    public static void main(String[] args) {
        int n = 5;
        System.out.println("fibonacci("+n+") = "+fibonacci(n));

    }

}

程序运行结果如下：

fibonacci(5) = 5

 扩展问题

　　假设A(0)=1，A(1)=2，A(2)=2。对于n>2，都有A(K) = A(k-1) + A(k-2) +A(k-3)。

　　1. 对于任何一个给定的n，如何计算出A(n)?

　　2. 对于n非常大的情况，如n=2⁶⁰的时候，如何计算A(n) mod M (M<100000)呢？

 问题1：非递归解法，代码如下：

package chapter2shuzizhimei.fibonacci;
/**
 * 扩展问题1求解
 * 非递归
 * @author DELL
 *
 */
public class Fibonacci6 {
    public static int A(int n){
        if(n<=0)
            return 1;
        else if(n==1||n==2)
            return 2;
        else{
            int f0 = 1,f1 = 2,f2 = 2,f3 = 0;
            for(int i=3;i<=n;i++){
                f3 = f0 + f1 + f2;
                f0 = f1;
                f1 = f2;
                f2 = f3;
            }
            return f3;
        }
    }
    public static void main(String[] args) {
        int n = 4;
        System.out.println("A("+n+") = "+A(n));

    }

}

程序运行结果如下：

A(4) = 9

 问题2：非递归解法，代码如下：

package chapter2shuzizhimei.fibonacci;
/**
 * 扩展问题2求解
 * 非递归
 * @author DELL
 *
 */
public class Fibonacci7 {
    //计算A(n) mod m
    public static long A(long n,long m){
        if(n<=0)
            return 1;
        else if(n==1||n==2)
            return 2;
        else{
            long f0 = 1,f1 = 2,f2 = 2,f3 = 0;
            for(int i=3;i<=n;i++){
                f0 = f0%m;
                f1 = f1%m;
                f2 = f2%m;
                f3 = f0 + f1 + f2;
                f0 = f1;
                f1 = f2;
                f2 = f3;
            }
            return f3%m;
        }
    }
    public static void main(String[] args) {
        long n = (long) Math.pow(2, 10);
        long m = 100;
        System.out.println("A("+n+") = "+A(n,m));

    }

}

程序运行结果如下：

A(1024) = 97