找符合条件的整数
问题描述
任意给定一个正整数N，求一个最小的正整数M(M>1)，使得N*M的十进制表示形式里只含有1和0。
解决这个问题首先考虑对于任意的N，是否这样的M一定存在。可以证明，M是一定存在的，而且不唯一。
简单证明：因为
这是一个无穷数列，但是数列中的每一项取值范围都在[0, N-1]之间。所以这个无穷数列中间必定存在循环节。即假设有s,t均是正整数，且s<t，有 。于是循环节长度为t-s。于是10^s = 10^t。因此有：
，所以
例如，取N＝3，因为10的任何非负次方模3都为1，所以循环节周期为1.有：
分析与解法
【解法一】
给定N，令M从2开始，枚举M的值直到遇到一个M使得N*M的十进制表示中只有1和0。
代码如下：
1 package chapter2shuzizhimei.findminint; 2 /** 3 * 找符合条件的整数 4 * 【解法一】 5 * @author DELL 6 * 7 */ 8 public class FindMinInt1 { 9 //判断整数的十进制表示中是否只有0和1 10 public static boolean hasOnlyOneAndZero(long x){ 11 while(x!=0){ 12 if(x%10>=2) 13 return false; 14 x /= 10; 15 } 16 return true; 17 } 18 //找符合条件的最小的正整数 19 public static long findMin(long n){ 20 for(int i=2;;i++){ 21 if(hasOnlyOneAndZero(i*n)) 22 return i; 23 } 24 } 25 26 public static void main(String[] args) { 27 long n = 3; 28 System.out.println("使得与"+n+"的乘积的十进制表示形式里只有1和0的最小正整数为："+findMin(n)); 29 30 } 31 32 }
程序运行结果如下：
使得与3的乘积的十进制表示形式里只有1和0的最小正整数为：37
【解法二】
求出10的次方序列模N的余数序列并找出循环节。然后搜索这个余数序列，搜索的目的就是要在这个余数序列中找到一些数出来让它们的和是N的倍数。例如N=13，这个序列就是1,10,9,12,3,4然后不断循环。很明显有1+12=13，而1是10的0次方，12是10的3次方，所以这个数就是1000+1=1001，M就是1001/13=77。
【解法三】
因为N*M的取值就是1,10,11,100,101,110,111,......所以直接在这个空间搜索，这是对方法一的改进。搜索这个序列直到找到一个能被N整除的数，它就是N*M，然后可计算出M。例如N=3时，搜索树如下：
上图中括号内表示模3的余数。括号外表示被搜索的数。左子树表示0，右子树表示1.上图中搜索到第二层（根是第0层）时遇到111，它模3余数为0.所以N*M=111, M=111/3=37。
具体实现代码如下：
1 package chapter2shuzizhimei.findminint; 2 3 import java.util.LinkedList; 4 import java.util.Queue; 5 6 /** 7 * 找符合条件的整数 8 * 【解法三】 9 * @author DELL 10 * 11 */ 12 public class FindMinInt3 { 13 14 //找符合条件的最小的正整数 15 public static long findMin(long n){ 16 Queue<Long> queue = new LinkedList<Long>(); 17 queue.add((long) 1); 18 long temp; //存放取出的队首元素 19 while(true){ 20 temp = queue.poll(); 21 if(temp%n==0) 22 return temp/n; 23 queue.add(temp*10); 24 queue.add(temp*10+1); 25 } 26 } 27 28 public static void main(String[] args) { 29 long n = 3; 30 System.out.println("使得与"+n+"的乘积的十进制表示形式里只有1和0的最小正整数为："+findMin(n)); 31 32 } 33 34 }
程序运行结果如下：
使得与3的乘积的十进制表示形式里只有1和0的最小正整数为：37
【解法四】
对方法三的改进。将方法三的搜索空间按模N余数分类，使得搜索时间和空间都由原来的指数级降到了O(N)。改进的原理：假设当前正在搜索由0，1组成的K位十进制数，这样的K位十进制数共有2^k个。假设其中有两个数X、Y，它们模N同余，那么在搜索由0、1组成的K+1位十进制数时，X和Y会被扩展出四个数：10X, 10X+1, 10Y, 10Y+1。因为X和Y同余（同余完全可以看作相等），所以10X与10Y同余，10X+1与10Y+1同余。也就是说由Y扩展出来的子树和由X扩展产生出来的子树产生完全相同的余数，如果X比Y小，那么Y肯定不是满足要求的最小的数，所以Y这棵子树可以被剪掉。这样，2k个数按照模N余数分类，每类中只保留最小的那个数以供扩展。原来在这一层需要搜索2k个数，现在只需要搜索O(N)个数。例如，当N=9时，第0层是1(1)，
如上图所示，第2层的110，第三层的1010、1110都因为同一层有和它同余且更小的数而被剪掉。如果按照方法三搜索，第三层本来应该有8个结点，但现在只有4个结点。
只需要将10k%N的结果与余数信息数组里非空的元素相加，再去模N，看看会不会出现新的余数。
具体代码如下：
1 package chapter2shuzizhimei.findminint; 2 3 import java.util.LinkedList; 4 import java.util.Queue; 5 6 /** 7 * 找符合条件的整数 8 * 【解法四】 9 * @author DELL 10 * 11 */ 12 public class FindMinInt4 { 13 14 //找符合条件的最小的正整数 15 public static long findMin(long n){ 16 long[] a = new long[(int) n]; //a[i]记录模n余i之后的数值 17 for(int i=0;i<n;i++){ //初始化数组 18 a[i]=-1; 19 } 20 int factor = 1; 21 a[1] = 1; 22 int i; 23 for(i=0; ;i++){ 24 factor *= 10; 25 int current = (int) (factor % n); 26 if(current == 0){ 27 a[current] = factor; //保存余数为0的数 28 return factor/n; 29 } 30 if(a[current]==-1){ 31 a[current] = factor; 32 } 33 //将当前的余数跟余数数组里面的余数相加mod n 34 int k; //存放前面的余数 35 //将当前的余数与前面的余数都相加再模上n，若产生新的余数的数值保存下来，另外若得到与以前相同的数值，不更新，因为要保存最小的 36 for(k=1;k<n;k++){ 37 if(a[k]==-1) 38 continue; 39 int newyu = (int) ((current+k)%n); 40 //新产生的余数不存在，将factor与k相加，得到新的数，只与小于factor的数进行想加，不要与后面的相加,与factor相加的数一定要小于factor 41 if(a[newyu]==-1&&a[k]<factor){ 42 a[newyu] = factor + a[k]; 43 if(newyu==0) 44 return a[newyu]/n; 45 } 46 } 47 } 48 } 49 50 public static void main(String[] args) { 51 long n = 3; 52 System.out.println("使得与"+n+"的乘积的十进制表示形式里只有1和0的最小正整数为："+findMin(n)); 53 54 } 55 56 }
程序运行结果如下：
使得与3的乘积的十进制表示形式里只有1和0的最小正整数为：37