第1章 游戏之乐——快速找出故障机器

转载：编程之美_1.5_快速找出机器故障

题目：假设一个机器只存储一个标号为ID的记录，假设每份数据保存2个备份，这样就有2个机器存储了相同的数据。其中ID是小于10亿的整数

问题1、在某个时间，如果得到一个数据文件ID的列表。是否能够快速的找到这个表中仅出现一次的ID?即快速找出出现故障的机器存储的数据ID。

问题2、如果有两台机器死机呢？（假设同一个数据的俩个备份不会同时丢失，即列表中缺少的是两个不等的ID）

扩展题、如果所有的机子都有三个备份，也就是说同一ID的机子有三台。而且同时又有三台机子死机，还能用上面的方法解决吗？

如果有N台备份，又同时有N台机器死机呢？

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问题重新阐述：

问题1、已知一个数组，数组中只有一个数据是出现一遍的，其他数据都是出现两遍，我们要把这个数据找出来

问题2、已知一个数组，数组中有两个不同的数据都出现一遍，其他数据都是出现两遍，我们要把这两个数据找出来

问题3、已知一个数组，数组丢失了三个数据，我们要把这三个数据找出来

              之后可以扩展到N个

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问题1、已知一个数组，数组中只有一个数据是出现一遍的，其他数据都是出现两遍，我们要把这个数据找出来

方法一、使用计数排序（借助map）

思想：遍历整个ID列表，使用Map记录每个ID出现的次数。之后，只出现一次的ID为所求

时间复杂度O(N),空间复杂度O(N)

注：不用map，而用数组的话，空间复杂度会大于N(N表示有N个数)，应该是10亿（ID的最大值可能为10亿）

缺点：空间复杂度太大，对已经出现过两次的ID仍要保存，但它已经不可能是出故障的机器了

方法二、仍使用计数排序，但是对已经出现过两次的ID不在存储

思想：遍历列表，对于每一个ID，先检查hash表中是否有与之相同的ID

     若有，则从Hash表中删除该ID；

      否则，将该ID加入到hash表中。

      这样，遍历完列表后，hash表中剩下的那一个元素即为所求ID。

时间复杂度O(N),空间复杂度最好为O(1),最坏为O(N)

方法三、利用异或运算(推荐使用)

思想：将列表中的所有ID异或，之后得到的值即为所求ID。

利用异或运算可以得到

 X^X=0   X^Y=Z  X^0=X

X ⊕ X = 0   X ⊕ Y = Z  X ⊕ 0 = X  
比如说ID为 2 1 2 3 1 要找的ID为3  
2的二进制为010，1的二进制为001  
3的二进制为011  
则2 ⊕1 = 010⊕001= 011   
011 ⊕2 = 011⊕010=001=1（2⊕1⊕2 = 1）  
1⊕3 = 001⊕011=010  
010⊕001=011 = 3  
最终的结果仍然是那个只出现一次的数  

时间复杂度为O(N)，空间复杂度为O(1)。在时间和空间上，基本已经达到最优。

缺点：前提是只有一个ID出现一次，若出现多次，则不适合

方法四、利用 "不变量" (推荐使用)

思路：这里，所有ID的和为一个不变量，对现在剩下ID求和。所有ID的和与剩下ID的和之差即为所求ID。

时间复杂度：O(N)时间，空间复杂度O(1)

总结：使用异或 和 不变量 都已经很优化。均能在只遍历一次列表，只需一个变量的条件下解决。

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问题2、已知一个数组，数组中有两个不同的数据都出现一遍，其他数据都是出现两遍，我们要把这两个数据找出来

题里面是丢失的是两个不同的数据，我们这里两种情况都考虑下

如果缺少的两个数字不相同，

方法：进行异或操作

思路：由于缺少的数不同，则最后异或的结果不为0。

(1)对数组中所有的ID进行异或，结果为a  
(2)我们找到a的二进制表示中，最低一位为1的位置b  
(3)根据b位是否为1，将ID数组中的数分为两个数组，其中一个数组中的b位为1，另一个队列中的b位为0。  
(注意，每个数组中，除了那个只出现一次的数外，其他数都是出现两次的，此时就可以在数组内使用异或操作)  
(4)然后对两个数组，分别进行异或操作，则将得到两个不为0的数字。即为所丢失的两个ID。  

如果缺少的两个数字相同

(此时数组中所有ID都是成对出现，异或值还是为0，不能使用异或实现)

方法：可以使用不变量实现。丢失两个，生成两个方程，联立求值

此时我们采取的方法如下：

(1)首先计算出初始未丢失之前，所有ID之和。  
(2)然后计算出丢失之后的ID之和，然后(1)(2)结果进行相减操作，得到方程x+ y = a。  
(3)利用丢失前后平方和之差，来与（2）进行联立，得到方程x * x + y * y = b。  
(4)对两方程进行联立，即可以求出最终的结果。

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问题3、已知一个数组，数组丢失了三个数据，我们要把这三个数据找出来，之后可以扩展到N个

方法一：我们需要建立三/N个方程，求出这些都是的数

此时，当方程为N时，要求N个方程可不好求

方法二：使用计数排序 + 计数值达到A时Map不在存储

这时，最终可以得到这几个数

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