在一个差分约束系统(system of difference constraints)中，线性规划矩阵A的每一行包含一个1和一个-1，A的其他所有元素都为0。因此，由Ax≤b给出的约束条件是m个差分约束集合，其中包含n个未知量，对应的线性规划矩阵A为m行n列。每个约束条件为如下形式的简单线性不等式：xj-xi≤bk。其中1≤i,j≤n，1≤k≤m。
例如，考虑这样一个问题，寻找一个5维向量x=(xi)以满足：
这一问题等价于找出未知量xi，i=1,2,…,5，满足下列8个差分约束条件：
x1-x2≤0
x1-x5≤-1
x2-x5≤1
x3-x1≤5
x4-x1≤4
x4-x3≤-1
x5-x3≤-3
x5-x4≤-3
该问题的一个解为x=(-5,-3,0,-1,-4)，另一个解y=(0,2,5,4,1)，这2个解是有联系的：y中的每个元素比x中相应的元素大5。
引理：设x=(x1,x2,…,xn)是差分约束系统Ax≤b的一个解，d为任意常数。则x+d=(x1+d,x2+d,…,xn+d)也是该系统Ax≤b的一个解。
http://poj.org/problem?id=3159
给n个人派糖果，给出m组数据，每组数据包含A，B，c 三个数， 意思是A的糖果数比B少的个数不多于c,即B的糖果数 - A的糖果数<= c 。 最后求n 比 1 最多多多少糖果。
算是裸题 v-u《=w 建有向边 u-》v 权值w 若有负环无解
//大-小<=c ,有向边(小，大）：c
如果是大于等于的 转化一下 如下
//大-小>=c,小-大<=-c,有向边(大，小):-c
【解题思路】 这是一题典型的差分约束题。不妨将糖果数当作距离，把相差的最大糖果数看成有向边AB的权值， 我们得到 dis[B]-dis[A]<=w(A,B)。看到这里，我们联想到求最短路时的松弛技术， 即if(dis[B]>dis[A]+w(A,B), dis[B]=dis[A]+w(A,B)。 即是满足题中的条件dis[B]-dis[A]<=w(A,B），由于要使dis[B] 最大， 所以这题可以转化为最短路来求。 这题如果用SPFA 算法的话，则需要注意不能用spfa+queue 来求,会TLE ，而是用 spfa + stack
我用了priority的dij 因为题目保证了有解
1 #include<cstdio> 2 #include<queue> 3 using namespace std; 4 const int inf=0x3f3f3f3f; 5 class Dijkstra { ///单源最短路 o(ME*log(MV)) 6 typedef int typec;///边权的类型 7 static const int ME=2e5+10;///边的个数 8 static const int MV=3e4+10;///点的个数 9 struct Q { 10 int id; 11 typec w; 12 friend bool operator <(const Q &a,const Q &b) { 13 return a.w>b.w; 14 } 15 } now; 16 priority_queue<Q> q; 17 struct E { 18 int v,next; 19 typec w; 20 } e[ME]; 21 int n,le,head[MV],u,v,i; 22 typec dist[MV],w; 23 bool used[MV]; 24 public: 25 void init(int tn) {///传入点的个数 26 n=tn; 27 le=0; 28 for(i=0; i<=n; i++) head[i]=-1; 29 } 30 void add(int u,int v,typec w) { 31 e[le].v=v; 32 e[le].w=w; 33 e[le].next=head[u]; 34 head[u]=le++; 35 } 36 void solve(int s) {///传入起点 37 for(i=0; i<=n; i++) { 38 used[i]=true; 39 dist[i]=inf; 40 } 41 dist[s]=0; 42 now.id=s; 43 now.w=0; 44 while(!q.empty()) q.pop(); 45 q.push(now); 46 while(!q.empty()) { 47 now=q.top(); 48 q.pop(); 49 u=now.id; 50 if(used[u]) { 51 used[u]=false; 52 for(i=head[u]; ~i; i=e[i].next) { 53 v=e[i].v; 54 w=e[i].w; 55 if(used[v]&&dist[v]>w+dist[u]) { 56 dist[v]=w+dist[u]; 57 now.id=v; 58 now.w=dist[v]; 59 q.push(now); 60 } 61 } 62 } 63 } 64 } 65 typec getdist(int id) { 66 return dist[id]; 67 } 68 } g; 69 70 int main(){ 71 int n,m,u,v,w; 72 while(~scanf("%d%d",&n,&m)){ 73 g.init(n); 74 while(m--){ 75 scanf("%d%d%d",&u,&v,&w); 76 g.add(u,v,w); 77 } 78 g.solve(1); 79 printf("%d ",g.getdist(n)); 80 } 81 return 0; 82 }
poj http://poj.org/problem?id=3169
有》=也有《=， 大于等于的移项一下，还是跟小于等于一样的建边，有负环是无解，最短路是inf是任意解，有最短路就是唯一解
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<algorithm> 4 #include<queue> 5 #include<stack> 6 #define mt(a,b) memset(a,b,sizeof(a)) 7 using namespace std; 8 const int inf=0x3f3f3f3f; 9 class Spfa { ///单源最短路o(k*ME)k~=2 10 typedef int typec;///边权的类型 11 static const int ME=2e4+10;///边的个数 12 static const int MV=1e3+10;///点的个数 13 struct E { 14 int v,next; 15 typec w; 16 } e[ME]; 17 int n,le,head[MV],inque[MV],i,u,v; 18 typec dist[MV]; 19 bool used[MV]; 20 queue<int> q; 21 public: 22 void init(int tn) { ///传入点的个数 23 n=tn; 24 le=0; 25 for(i=0; i<=n; i++) head[i]=-1; 26 } 27 void add(int u,int v,typec w) { 28 e[le].v=v; 29 e[le].w=w; 30 e[le].next=head[u]; 31 head[u]=le++; 32 } 33 bool solve(int s) { ///传入起点,存在负环返回false 34 for(i=0; i<=n; i++) { 35 dist[i]=inf; 36 used[i]=true; 37 inque[i]=0; 38 } 39 used[s]=false; 40 dist[s]=0; 41 inque[s]++; 42 while(!q.empty()) q.pop(); 43 q.push(s); 44 while(!q.empty()) { 45 u=q.front(); 46 q.pop(); 47 used[u]=true; 48 for(i=head[u]; ~i; i=e[i].next) { 49 v=e[i].v; 50 if(dist[v]>dist[u]+e[i].w) { 51 dist[v]=dist[u]+e[i].w; 52 if(used[v]) { 53 used[v]=false; 54 q.push(v); 55 inque[v]++; 56 if(inque[v]>n) return false; 57 } 58 } 59 } 60 } 61 return true; 62 } 63 typec getdist(int id) { 64 return dist[id]; 65 } 66 } g; 67 int main() { 68 int n; 69 int ML,MD; 70 int a,b,c; 71 while(~scanf("%d%d%d",&n,&ML,&MD)) { 72 g.init(n); 73 while(ML--) { 74 scanf("%d%d%d",&a,&b,&c); 75 if(a>b)swap(a,b);//注意加边顺序 76 g.add(a,b,c); 77 //大-小<=c ,有向边(小，大）：c 78 } 79 while(MD--) { 80 scanf("%d%d%d",&a,&b,&c); 81 if(a<b)swap(a,b); 82 g.add(a,b,-c); 83 //大-小>=c,小-大<=-c,有向边(大，小):-c 84 } 85 if(!g.solve(1)) printf("-1 ");//无解 86 else if(g.getdist(n)==inf) printf("-2 "); 87 else printf("%d ",g.getdist(n)); 88 } 89 return 0; 90 }