1626：【例 2】Hankson 的趣味题
题目描述
Hanks 博士是BT (Bio-Tech，生物技术) 领域的知名专家，他的儿子名叫Hankson。现在，刚刚放学回家的Hankson 正在思考一个有趣的问题。今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数c1 和c2 的最大公约数和最小公倍数。现在Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：已知正整数a0,a1,b0,b1，设某未知正整数x 满足：
1、x 和a0 的最大公约数是a1；
2、x 和b0 的最小公倍数是b1。
Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数x。但稍加思索之后，他发现这样的x 并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的x 的个数。请你帮助他编程求解这个问题。
输入格式
输入文件名为 son.in。第一行为一个正整数n，表示有n 组输入数据。接下来的n 行每行一组输入数据，为四个正整数a0，a1，b0，b1，每两个整数之间用一个空格隔开。输入数据保证a0 能被a1 整除，b1 能被b0 整除。
输出格式
输出文件 son.out 共n 行。每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。对于每组数据：若不存在这样的 x，请输出0；若存在这样的 x，请输出满足条件的x 的个数；
样例数据 1
输入
2
41 1 96 288
95 1 37 1776
输出
6
2「说明」第一组输入数据，x 可以是9、18、36、72、144、288，共有6 个。第二组输入数据，x 可以是48、1776，共有2 个。
备注
「数据范围」
对于 50%的数据，保证有1≤a0，a1，b0，b1≤10000 且n≤100。
对于 100%的数据，保证有1≤a0，a1，b0，b1≤2,000,000,000 且n≤2000。
sol：有一种能得90pts的优秀暴力，i 从1~sqrt（n）枚举，判断 i 和 b1/i 是否可行 （非常好打）
/* 原式 b0*x/gcd(b0,x) = b1 -->b0*x = gcd(b0,x)*b1 -->b0*x/b1 = gcd(b0,x) -->gcd(b0,x) = b0*x/b1 -->gcd(b1/x,b1/b0) = 1 */ #include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; inline ll read() { ll s=0; bool f=0; char ch=' '; while(!isdigit(ch)) { f|=(ch=='-'); ch=getchar(); } while(isdigit(ch)) { s=(s<<3)+(s<<1)+(ch^48); ch=getchar(); } return (f)?(-s):(s); } #define R(x) x=read() inline void write(ll x) { if(x<0) { putchar('-'); x=-x; } if(x<10) { putchar(x+'0'); return; } write(x/10); putchar((x%10)+'0'); return; } #define W(x) write(x),putchar(' ') #define Wl(x) write(x),putchar(' ') ll a0,a1,b0,b1; inline ll gcd(ll x,ll y) { return (!y)?(x):(gcd(y,x%y)); } inline int Solve(int x) { return ((gcd(a0,x)==a1)&&gcd(b1/x,b1/b0)==1)?1:0; } int main() { int i,T; R(T); while(T--) { R(a0); R(a1); R(b0); R(b1); int ans=0; for(i=1;i<=sqrt(b1);i++) if(b1%i==0) { ans=ans+Solve(i); if(i*i!=b1) ans+=Solve(b1/i); } Wl(ans); } return 0; } /* input 2 41 1 96 288 95 1 37 1776 output 6 2 */
正解是这样的，暴力枚举b1的质因数：对于一个质因数 k
对于 a0中若有 kc0，a1中有kc1：那么因为gcd（a0，x）=a1，所以c0必须不小于c1，否则无解，如果c0=c1，那么x中k的系数可以是任意一个大于等于c0的数，反正gcd后还是kc0，如果c0>c1，那么x中k的系数必须是c1
对于b0中若有 kc2，b1中有kc3：那么因为lcm（b0，x）=b1，所以c2必须不大于c3，否则无解，如果c2=c3，那么x中k的系数可以是任意一个小于等于c3的数，反正lca后还是kc3，如果c2<c3，那么x中k的系数必须是c3
Ps：想清楚后代码也很简单（关键是要想明白）
/* 原式 b0*x/gcd(b0,x) = b1 -->b0*x = gcd(b0,x)*b1 -->b0*x/b1 = gcd(b0,x) -->gcd(b0,x) = b0*x/b1 -->gcd(b1/x,b1/b0) = 1 gcd(x,a0)==a1 lcm(x,b0)==b1 //b1一定是x的整倍数，而x一定是a1的整倍数 */ #include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef int ll; inline ll read() { ll s=0; bool f=0; char ch=' '; while(!isdigit(ch)) { f|=(ch=='-'); ch=getchar(); } while(isdigit(ch)) { s=(s<<3)+(s<<1)+(ch^48); ch=getchar(); } return (f)?(-s):(s); } #define R(x) x=read() inline void write(ll x) { if(x<0) { putchar('-'); x=-x; } if(x<10) { putchar(x+'0'); return; } write(x/10); putchar((x%10)+'0'); return; } #define W(x) write(x),putchar(' ') #define Wl(x) write(x),putchar(' ') const int N=50005; int a0,a1,b0,b1,ans; bool Bo[N]; int Prim[N]; inline void Pre_Prime() { int i,j; for(i=2;i<=50000;i++) { if(!Bo[i]) Prim[++*Prim]=i; for(j=1;j<=*Prim&&Prim[j]*i<=50000;j++) { Bo[Prim[j]*i]=1; if(i%Prim[j]==0) break; } } return; } inline void Solve(int x) { int c0=0,c1=0,c2=0,c3=0; while(a0%x==0){a0/=x; c0++;} while(a1%x==0){a1/=x; c1++;} while(b0%x==0){b0/=x; c2++;} while(b1%x==0){b1/=x; c3++;} if(c0<c1||c2>c3) { ans=0; return; } if(c0==c1&&c2==c3) { if(c1<=c3) ans*=c3-c1+1; else ans=0; } else if(c0>c1&&c2<c3&&c1!=c3) { ans=0; } return; } int main() { // freopen("son9.in","r",stdin); // freopen("my.out","w",stdout); int i,T; Pre_Prime(); R(T); while(T--) { R(a0); R(a1); R(b0); R(b1); ans=1; for(i=1;i<=*Prim&&Prim[i]<b1&&ans;i++) { Solve(Prim[i]); } if(b1>1) Solve(b1); Wl(ans); } return 0; } /* input 2 41 1 96 288 95 1 37 1776 output 6 2 input 2 10 10 10 10 5 1 2 10 output 1 0 */