EOJ-3300 奇数统计（高维前缀和）

题目链接：

https://acm.ecnu.edu.cn/problem/3300/

题目大意：

给n个数，求在n个数中选两个数(可重复)，使得这两个数的组合数是奇数，求总共有多少种取法。

解题思路：

组合数C_n^m奇偶性判断：

n & m == m 成立则组合数为奇数

一开始没什么的思路，直接暴力超时，后来看到Lucas定理，发现上面那个式子的本质就是从这里推导出来的。

Lucas定理：

组合数判断奇数的话就是转化成上述定理中p = 2

是否为1，利用Lucas定理，先把和化为二进制，这样它们都是01序列了。我们又知道

     。这样中为0的地方对应的中的位置只有一种可能，那就是0。

这样n&m = m的本质就是二进制中n对应的0得地方，m也对应为0。

然而，就是这个本质，就可以解这道题目

有位大佬一句话点醒了我，n&m = m说明m是n的子集。

对的，用二进制表示子集的时候，就是这样，m是n的子集，等价于n为0的位置m一定为0，n为1

的位置，m可以为1，可以为0。

然后对于每个n，求出它的子集的数目即可。

对于求子集，大佬教的方法是高维前缀和，代码很简单，就三行，和状态压缩DP一样。

for(int i = 0; i < m; i++)
{
    for(int j = 0; j < (1<<m); j++)
    {
        if(j & (1<<i))
              sum[j] += sum[j ^ (1<<i)];
    }
}   

举个例子，sum[0101] = sum[0101] + sum[0100] + sum[0001] + sum[0000]

sum[i]就表示i二进制的所有子集的权值之和

对于组合数n & m == m　　m是n的子集，

先统计每个数出现的次数，然后对于每个数，统计它的子集的个数即可，最后答案相加。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e6 + 10;
typedef long long ll;
ll a[maxn], sum[maxn];
int main()
{
    int T, n, x;
    cin >> T;
    while(T--)
    {
        scanf("%d", &n);
        memset(a, 0, sizeof(a));
        memset(sum, 0, sizeof(sum));
        for(int i = 0; i < n; i++)
        {
            scanf("%d", &a[i]);
            sum[a[i]]++;
        }
        int m = 17;
        for(int i = 0; i < m; i++)
        {
            for(int j = 0; j < (1<<m); j++)
            {
                if(j & (1<<i))
                    sum[j] += sum[j ^ (1<<i)];
            }
        }
        ll ans = 0;
        for(int i = 0; i < n; i++)
            ans += sum[a[i]];
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}