欧拉函数

欧拉函数的性质：

1)   p^k型欧拉函数:

若N是质数p(即N=p), φ(n)= φ(p)=p-p^(k-1)=p-1。

若N是质数p的k次幂(即N=p^k)，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)。

(2)mn型欧拉函数

设n为正整数，以φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值。若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。

(3)特殊性质:

若n为奇数时，φ(2n)=φ(n)。

对于任何两个互质 的正整数a,n(n>2)有:a^φ(n)=1 mod n (恒等于)此公式即 欧拉定理

当n=p 且 a与素数p互质(即:gcd(a,p)=1)则上式有: a^(p-1)=1 mod n (恒等于)此公式即 费马小定理

(4)对于n，p为n的素因子

φ(p*n) = p*φ(n)(由最根本的定理可知)

相关证明：https://www.cnblogs.com/handsomecui/p/4755455.html

欧拉函数模板

int euler_phi(int n)//求单个
{
    int m = (int)sqrt(n + 0.5);
    int ans = n;
    for(int i = 2; i <= m; i++)if(n % i == 0)
    {
        ans = ans / i * (i - 1);
        while(n % i == 0)n /= i;
    }
    if(n > 1)ans = ans / n * (n - 1);
    return ans;
}
void phi_table(int n, int* phi)//打表
{
    for(int i = 0; i <= n; i++)phi[i] = i;
    for(int i = 2; i <= n; i++)if(phi[i] == i)
        for(int j = i; j <= n; j += i)phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);
}

void phi_table(int n)//稍微快一点的打表 

{
    phi[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++)
    {
        if(!phi[i])//素数
        {
            for(int j = i; j <= n; j += i)
            {
                if(!phi[j])phi[j] = j;
                phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);
            }
        }
    }
}

ll phi[maxn];
ll prime[maxn];
bool not_prime[maxn];
int cnt;
void phi_table(int n)//最快打表 O(n)
{
    phi[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++)
    {
        if(!not_prime[i])//素数
        {
            prime[++cnt] = i;
            phi[i] = i - 1;
        }
        for(int j = 1; j <= cnt && i * prime[j] <= n; j++)
        {
            not_prime[i * prime[j]] = 1;
            if(i % prime[j] == 0)//第j个素数是i的因子
            {
                phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
                break;
            }
            else phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);
        }
    }
}