快速幂 、矩阵快速幂

快速幂

如果要你自己写一个pow()函数，需要求2的2000000000次方，怎么求？

int pow(int a,int b){   //普通乘
    int ans = 1;
    for(int i=1; i<=b; i++)
        ans *= a;
    return ans;
}

上述代码的时间复杂度是o(n)，当数据数量级很大的时候，这份代码的耗时会非常巨大，并不能解决我们的问题。那我们该怎么办呢？
以2的74次方为例，74的二进制为1001010。对应的，我们得到74=2+8+64。
我们把问题转化为2的74次方 =2的2次方 * 2的8次方 * 2的64次方 。通过这个思路，这样我们把算法的复杂度降到了o(log n)。

void Pow(long long  a,long long  b)  //快速幂 求a的b次幂
{
	long long s=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)	s=s*a;
		a=a*a;
		b>>1;
	}
	printf("%lld",s);
}

``

``**

矩阵快速幂

**
我们都知道斐波那契数列 ，而 F[N] =F[N-1]+F[N-2]。
显然，采用递加的方式求f[n]我们需要运算 n-1次。当数据数量级很大的时候，在有限的时间内，我们是无法答案的。那么我们该怎么办呢？
思路一：先来看斐波那契数列 ，我们先初始化三个矩阵令a[2][2]={1,1,1,0},b[2]={1,1}，c[2][1]={0}。那么是不是会有 c[0][0]=a[0][0]*b[0][0]+a[0][1]*b[1][0]=1+1=2。
c[1][0]=a[1][0]*b[0][0]+a[1][1]b[1][0]=1+0=1。
即：


乘号右侧的所有元素组成斐波那契数列的元素，我们可以用c[0][0]表示。那么我们这样做有什么好处呢？理由同快速幂，因为这样F[N]=a矩阵的n-1次方b矩阵 。这样一来 ，我们只不过是把底数换成了一个矩阵而已，利用上述的思路可以将时间复杂度大大降低。我们把矩阵a称为转移矩阵，用数组表示是[1,1,1,0]。最后的答案我们可以通过a的n-1次方获得。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
int n,c[2][2],d[2][2],a[2][2]={1,1,1,0},b[2][2]={1,0,0,1};
void Matrix1()
{
	memset(c,0,sizeof(c));
	for(int i=0;i<2;i++)
	{
		for(int j=0;j<2;j++)
		{
			for(int k=0;k<2;k++)
			{
				c[i][j]+=b[i][k]*a[k][j];
			}
		}
	}
	for(int i=0;i<2;i++)
	{
		for(int j=0;j<2;j++)
		{
			b[i][j]=c[i][j];
		}
	}
}
void Matrix2()
{
	memset(d,0,sizeof(d));
	for(int i=0;i<2;i++)
	{
		for(int j=0;j<2;j++)
		{
			for(int k=0;k<2;k++)
			{
				d[i][j]+=a[i][k]*a[k][j];
			}
		}
	}
	for(int i=0;i<2;i++)
	{
		for(int j=0;j<2;j++)
		{
			a[i][j]=d[i][j];
		}
	}
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	if(n==1)	printf("1");
	else if(!n)	printf("0");	
	else
	{
		n-=2;
		while(n)
		{
		if(n&1)	Matrix1();
		Matrix2();
		n>>=1;
		}
		printf("%d ",b[0][0]+b[0][1]);
	}
	return 0;
}

思路二：

参考思路：

矩阵快速幂与斐波那契数列

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
int n,c[2][2],d[2][2],a[2][2]={1,1,1,0},b[2][2]={1,0,0,1};
void Matrix1()
{
	memset(c,0,sizeof(c));
	for(int i=0;i<2;i++)
	{
		for(int j=0;j<2;j++)
		{
			for(int k=0;k<2;k++)
			{
				c[i][j]+=b[i][k]*a[k][j];
			}
		}
	}
	for(int i=0;i<2;i++)
	{
		for(int j=0;j<2;j++)
		{
			b[i][j]=c[i][j];
		}
	}
}
void Matrix2()
{
	memset(d,0,sizeof(d));
	for(int i=0;i<2;i++)
	{
		for(int j=0;j<2;j++)
		{
			for(int k=0;k<2;k++)
			{
				d[i][j]+=a[i][k]*a[k][j];
			}
		}
	}
	for(int i=0;i<2;i++)
	{
		for(int j=0;j<2;j++)
		{
			a[i][j]=d[i][j];
		}
	}
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	while(n)
	{
		if(n&1)	Matrix1();
		Matrix2();
		n>>=1;
	}
	printf("%d ",b[0][1]);
	return 0;
}

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如有不妥，欢迎指正。