欧几里得算法与扩展欧几里得算法

欧几里得算法
已知a和b，求出(gcd(a,b))
时间复杂度(O(log n))
(gcd(a,b)*lcm(a,b)=a*b)

int gcd(int a,int b){
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

模板题：hdu2104 hide handkerchief
扩展欧几里得算法
求出所有的x,y，使得对于给定的a,b，满足(ax+by=c)
时间复杂度(O(log n))
当且仅当(gcd(a,b)|c)时，存在整数解x,y
所以exgcd可以求解方程(ax+by=gcd(a,b))
(bx1+(a\%b)y1=gcd(b,a\%b))
(bx1+(a-blfloorfrac{a}{b} floor)y1=gcd(a,b))
(ay1+b(x1-lfloorfrac{a}{b} floor y1)=gcd(a,b))
所以原方程中，(left{egin{aligned}x=y1\y=x1-lfloorfrac{a}{b} floor y1end{aligned} ight.)。通过递归求出x1,y1，可以得到x,y
原方程的解集：({(x,y)|x=x1+k*b/gcd(a,b),y=y1-k*a/gcd(a,b),kin z})

void exgcd(int a,int b,int& x,int& y,int& d){
    if(!b) {y=0;x=1;d=a;return;}
    exgcd(b,a%b,y,x,d);
    y-=a/b*x;
}

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