POJ 2955 Brackets

我们给出了“正则括号”序列的以下归纳定义：

• 空序列是一个 正则方括号序列；
• 如果s是正则方括号序列，那么(s)和[s]是正则括号序列；
• 如果a和b是正则括号序列，则ab是正则括号序列；
• 没有其他序列是正则括号序列。

例如，以下所有字符序列都是正则括号序列：

()，[]， (())， ()[]， ()[()]

而下列字符序列不是：

(，]，)(，([)]， ([(]

思路

状态表示：
(f(i,j))：字符串(s)的子区间([i,j])的最长正则括号子序列的长度。

状态转移：

1. 如果字符串(s)是空串，或长度为(1)，那么最长正则括号子序列肯定是(0)；
2. 如果字符串(s)的长度为2， 那么当(s=="()")或者(s=="[]")的时候，最长正则括号子序列的长度为(2)；否则长度为(0)。
3. 当 (s[l]=='(') 并且 (s[r]==')')或者(s[l]=='[') 并且 (s[r]==']') 时，有如下转移方程：

[f(l,r)=f(l+1,r-1)+2 ]

4. 如果不是((s'))或者([s'])的情况，我们可能会想到如下的转移方程：

[f(l,r)=max(f(l+1,r),f(l,r-1)) ag {1} ]

但最长正则括号子序列可能是由若干正则子序列拼接而成的，如(s="()()")，这时我们需要去枚举(k in [l+1,r-1])：

[f(i,j)=max(f(i,j),f(i,k)+f(k+1,j)) ag {2} ]

可以发现，((1))是(k)为(l)和(r-1)时的特殊情况，结合((1)(2))可得：

[f(i,j)=max(f(i,j),f(i,k)+f(k+1,j)) k in [l,r-1] ]

综上：

• 如果(s)形如((s'))或([s’])，转移到(s[l+1 sim r-1])。
• 如果(s)至少有两个字母，则可以分成ab，转移到(s[l_asim r_a]+s[l_b+r_b])。

const int N=110;
int f[N][N];
string s;
int n;

bool match(int x,int y)
{
    return s[x] == '(' && s[y] == ')' || s[x] == '[' && s[y] == ']';
}

int main()
{
    while(cin>>s)
    {
        if(s == "end") break;

        memset(f,0,sizeof f);

        n=s.size();
        for(int i=n-1;i>=0;i--)
            for(int j=i+1;j<n;j++)
            {
                if(match(i,j)) f[i][j]=f[i+1][j-1]+2;

                for(int k=i;k<j;k++)
                    f[i][j]=max(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]);
            }

        cout<<f[0][n-1]<<endl;
    }
    //system("pause");
    return 0;
}