P1991 无线通讯网

原题等价于求最后连通块数为k的情况下的最小生成森林，最大边的权值即为所求

\(prim\)

• prim算法并不是按照边的权值大小顺序依次加入最小生成树，故采用一个小根堆维护出最小生成树的第k大边，剩下k-1个孤立点，连通块数为k

时间复杂度：\(O(n^2)\)

const int N=510;
double g[N][N];
PDD a[N];
double dist[N];
bool vis[N];
int n,k;

double dis(PDD a,PDD b)
{
    return sqrt((a.fi-b.fi)*(a.fi-b.fi)+(a.se-b.se)*(a.se-b.se));
}

double prim()
{
    for(int i=1;i<=n;i++) dist[i]=INF;
    priority_queue<double> heap;

    double res=0;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        int t=-1;
        for(int j=1;j<=n;j++)
            if(!vis[j] &&(t==-1 || dist[t]>dist[j]))
                t=j;
        vis[t]=true;
        if(i) heap.push(dist[t]);

        for(int j=1;j<=n;j++)
            dist[j]=min(dist[j],g[t][j]);
    }

    for(int i=0;i<k-1;i++) heap.pop();
    return heap.top();
}

int main()
{
    cin>>k>>n;

    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i].fi>>a[i].se;

    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
            g[i][j]=g[j][i]=dis(a[i],a[j]);

    double t=prim();
    printf("%.2f\n",t);

    //system("pause");
}

\(kruskal\)

时间复杂度：\(O(mlogm)\)

const int N=510;
struct Node
{
    int a,b;
    double c;
    bool operator<(const Node &W) const
    {
        return c<W.c;
    }
}e[N*N];
PDD a[N];
int p[N];
int n,k,tot;

int find(int x)
{
    if(x != p[x]) p[x]=find(p[x]);
    return p[x];
}

double dis(PDD a,PDD b)
{
    return sqrt((a.fi-b.fi)*(a.fi-b.fi)+(a.se-b.se)*(a.se-b.se));
}

double kruskal()
{
    double res=0;
    int cnt=0;
    for(int i=0;i<tot;i++)
    {
        int a=e[i].a,b=e[i].b;
        double c=e[i].c;
        int pa=find(a),pb=find(b);
        if(pa != pb)
        {
            p[pa]=pb;
            res=c;
            cnt++;
            if(cnt == n-k) return res;
        }
    }
}

int main()
{
    cin>>k>>n;

    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i].fi>>a[i].se;

    for(int i=1;i<=n;i++) p[i]=i;

    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
            e[tot++]={i,j,dis(a[i],a[j])};

    sort(e,e+tot);

    double t=kruskal();
    printf("%.2f\n",t);

    //system("pause");
}

\(二分\)

• 二分出最小传输距离，采用并查集统计连通块数是否为k

const int N=510;
double g[N][N];
PDD a[N];
int p[N];
int n,k;

int find(int x)
{
    if(x != p[x]) p[x]=find(p[x]);
    return p[x];
}

double dis(PDD a,PDD b)
{
    return sqrt((a.fi-b.fi)*(a.fi-b.fi)+(a.se-b.se)*(a.se-b.se));
}

bool check(double mid)
{
    for(int i=1;i<=n;i++) p[i]=i;

    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
            if(g[i][j]<=mid)
            {
                int pi=find(i),pj=find(j);
                if(pi != pj) p[pi]=pj;
            }

    int cnt=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(p[i] == i)
            cnt++;
    return cnt<=k;
}

int main()
{
    cin>>k>>n;

    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i].fi>>a[i].se;

    double l=0,r=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
            g[i][j]=g[j][i]=dis(a[i],a[j]),r=max(r,g[i][j]);

    for(int i=0;i<100;i++)
    {
        double mid=(l+r)/2;
        if(check(mid)) r=mid;
        else l=mid;
    }

    printf("%.2f\n",l);

    //system("pause");
}