Hanoi塔问题的原型
问题描述：现在有n个圆盘从上往下从小到大叠在第一根柱子上，要把这些圆盘全部移动到第三根柱子要怎么移动呢？请找出需要步骤数最少的方案
转载自https://blog.csdn.net/liujian20150808/article/details/50793101
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首先，我们从简单的例子开始分析，然后再总结出一般规律。
当n = 1的时候，即此时只有一个盘子，那么直接将其移动至C即可。移动过程就是 A -> C
当n = 2的时候，这时候有两个盘子，那么在一开始移动的时候，我们需要借助B柱作为过渡的柱子，即将A柱最上面的那个小圆盘移至B柱，然后将A柱底下的圆盘移至C柱，最后将B柱的圆盘移至C柱即可。那么完整移动过程就是A -> B , A -> C , B -> C
当n = 3的时候，那么此时从上到下依次摆放着从小到大的三个圆盘，根据题目的限制条件：在小圆盘上不能放大圆盘，而且把圆盘从A柱移至C柱后，C柱圆盘的摆放情况和刚开始A柱的是一模一样的。所以呢，我们每次移至C柱的圆盘（移至C柱后不再移到其他柱子上去），必须是从大到小的，即一开始的时候，我们应该想办法把最大的圆盘移至C柱，然后再想办法将第二大的圆盘移至C柱......然后重复这样的过程，直到所有的圆盘都按照原来A柱摆放的样子移动到了C柱。
那么根据这样的思路，问题就来了：
如何才能够将最大的盘子移至C柱呢？
那么我们从问题入手，要将最大的盘子移至C柱，那么必然要先搬掉A柱上面的n-1个盘子，而C柱一开始的时候是作为目标柱的，所以我们可以用B柱作为"暂存"这n-1个盘子的过渡柱，当把这n-1的盘子移至B柱后，我们就可以把A柱最底下的盘子移至C柱了。
而接下来的问题是什么呢？
我们来看看现在各个柱子上盘子的情况，A柱上无盘子，而B柱从上到下依次摆放着从小到大的n-1个盘子，C柱上摆放着最大的那个盘子。
所以接下来的问题就显而易见了，那就是要把B柱这剩下的n-1个盘子移至C柱，而B柱作为过渡柱，那么我们需要借助A柱，将A柱作为新的"过渡"柱，将这n-1个盘子移至C柱。
根据上面的分析，我们可以抽象得出这样的结论：
汉诺塔函数原型：
1 void Hanio(int n,char start_pos,char tran_pos,char end_pos)
那么我们把n个盘子从A柱移动至C柱的问题可以表示为：
Hanio(n, A, B, C);
那么从上面的分析得出：
该问题可以分解成以下子问题：
第一步：将n-1个盘子从A柱移动至B柱（借助C柱为过渡柱）
第二步：将A柱底下最大的盘子移动至C柱
第三步：将B柱的n-1个盘子移至C柱（借助A柱为过渡柱）
因此完整代码如下所示：
1 #include <bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 int step; //记录步数 4 void move(int n, char from, char to) { //将编号为n的盘子由from柱子移动到to柱子(目标柱子) 5 printf("第%d步:将%d号盘子移动：%c柱子---->%c柱子 ", step++, n, from, to); 6 } 7 //汉诺塔递归函数参数解释 8 //n表示要将多少个"圆盘"从起始柱子移动至目标柱子 9 //start_pos表示起始柱子, tran_pos表示过渡柱子, end_pos表示目标柱子 10 void Hanio(int n, char start_pos, char tran_pos, char end_pos) { 11 if (n == 1) { //递归结束的终点：当n==1时, 只需要直接将圆盘从起始柱子移至目标柱子即可. 12 move(n, start_pos, end_pos); 13 } else { 14 Hanio(n - 1, start_pos, end_pos, tran_pos); //一开始先将n-1个盘子移至过渡柱上 15 move(n, start_pos, end_pos); //然后再将底下的大盘子直接移至目标柱子即可 16 Hanio(n - 1, tran_pos, start_pos, end_pos); //处理放在过渡柱上的n-1个盘子，此时借助原来的起始柱作为过渡柱(因为起始柱已经空了) 17 } 18 } 19 int main() { 20 int n; 21 cin >> n; 22 step = 1; //赋初始值 23 Hanio(n, 'A', 'B', 'C'); 24 cout << "总步数：" << step - 1 << endl; 25 return 0; 26 }
对于n个盘子，移动的总步数为2^n - 1
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然后是稍微进阶版的蓝桥杯的汉诺塔问题
例如N=5，M=2时，可以分别将最小的2个盘子、中间的2个盘子以及最大的一个盘子分别看作一个整体，这样可以转变为N=3，M=1的情况，共需要移动7次。
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样例输出
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1 #include <bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 int ans; //移动步数 4 void move(int n, int m, char a, char b, char c) { 5 //参数解释：将n个盘子，最多一次拿m个，从a柱子开始，以b柱子为过渡，移动到c柱子上 6 if (n <= m) { //如果可以一次拿完，直接拿 7 ans++; 8 } else { //如果一次拿不完 9 move(n - m, m, a, c, b); //先把上面的n-m个盘子，从a移动到b，以c为过渡。这样就露出来这m个盘子了 10 ans++; //将这露出来的m个盘子直接拿过去 11 move(n - m, m, b, a, c); //将n-m个盘子从b移动到c，以a为过渡 12 } 13 } 14 int main() { 15 int n, m; 16 cin >> n >> m; 17 move(n, m, 'a', 'b', 'c'); 18 cout << ans << endl; 19 return 0; 20 }
然后就是这次的题目了
多了一个塔，用动态规划
1 #include <bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 const int N = 15; 4 int d[N]; //d[n]表示求解n盘3塔的最小步数 5 int f[N]; //f[n]表示求解n盘4塔问题的最小步数 6 int main() { 7 d[1] = 1; //如果只有一个盘子，只需要移动一次 8 for (int i = 2; i <= N; i++) { //i表示盘子的数量 9 /*然后接下来这行代码就包含很多内容了 10 当现在盘子数量为i的时候 11 可以先把前i - 1个盘子，从a柱移动到b柱上，以c柱为过渡 12 再把最后一个盘子，从a柱直接移动到c柱 13 再把i - 1个盘子，从b柱移动到c柱，以a柱为过渡 14 */ 15 d[i] = 2 * d[i - 1] + 1; 16 } 17 memset(f, 0x3f, sizeof(f)); //初始化为正无穷 18 f[0] = 0; //0个盘子不需要做任何操作 19 for (int i = 1; i <= N; i++) { 20 for (int j = 0; j < i; j++) { //枚举一下前j个盘子 21 f[i] = min(f[i], f[j] * 2 + d[i - j]); 22 } 23 } 24 for (int i = 1; i <= 12; i++) { 25 cout << f[i] << endl; 26 } 27 return 0; 28 }
解析：
设d[n]表示求解n盘3塔问题的最小步数
递推式：d[n] = 2 * d[n-1] + 1
即把前n-1个盘子从A柱移到B柱，然后把A柱上剩的那一个盘子移动到C柱，最后把B柱上的那n-1个盘子移动到C柱上
设f[n]表示求解n盘4塔问题的最小步数
递推式：f[n] = min{2 * f[i] + d[n - i]}
初始化：f[1] = 1(一个盘子在4塔模式下移动到D柱需要1步)
先把i个盘子在4塔模式下移动到B柱，
然后把n-i个盘子在3塔模式下移动到D柱（因为不能覆盖到B柱上，就等于只剩下A、C、D柱可以用）
最后把i个盘子在4塔模式下移动到D柱
考虑所有可能的i取最小值，即得到上述递推公式