3.筛质数 质数

 筛质数的核心思想：

先把所有数放进一个数组

然后从前往后看，把每一个数的倍数删掉

第一个数是2，就把所有2的倍数删掉，4，6，8，10，12

第二个数是3，就把所有3的倍数删掉，6，9，12

第二个数是4，就把所有4的倍数删掉，8，12

第二个数是5，就把所有5的倍数删掉，10

以此类推

 这样筛完之后，所有剩下的数就是质数

证明：对于任何一个数p而言，如果p没有被删掉的话，就意味着从2到p - 1中的任何一个数，都没有把p删掉

说明p不是2到p - 1中间任何一个数的倍数，也即2到p - 1中间不存在p的约数，所以p是一个质数

质数定理：1 ~ n中，有n / ln (n)个质数

线性筛：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1000010;
int primes[N], cnt;
bool st[N];
void get_primes_1(int n) {
    //朴素筛法，时间复杂度近似O(n log n)
    for (int i = 2; i <= n; i++) { //从2到n枚举
        if (!st[i]) { //如果这个数没有被筛过的话,说明是一个质数
            primes[cnt++] = i;
        }
        //再把每一个数的倍数删掉
        for (int j = i + i; j <= n; j += i) { //最朴素方法
            st[j] = true;
        }
    }
}
void get_primes_2(int n) {
    //埃氏筛法，时间复杂度O(n log log n),近似O(n)
    for (int i = 2; i <= n; i++) { //从2到n枚举
        if (!st[i]) { //如果这个数没有被筛过的话,说明是一个质数
            primes[cnt++] = i;
            for (int j = i + i; j <= n; j += i) { //最朴素方法
                st[j] = true;
            }
        }
        //并不需要把每一个数的倍数删掉，只把所有质数的倍数删掉就可以了
        //可以把循环放进判断里面去
    }
}
void get_primes_3(int n) {
    //线性筛法的基本思路也是一样的：争取把每个合数，用它的某一个质因子筛掉
    /*
        线性筛法的核心思路：每一个合数，只会被它的最小质因子筛掉
    */
    //线性筛法，时间复杂度O(n)
    for (int i = 2; i <= n; i++) { //从2到n枚举
        if (!st[i]) { //如果是一个质数的话
            primes[cnt++] = i; //加进去
        }
        //从小到大枚举所有质数
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j++) {
            st[primes[j] * i] = true; 
            if (i % primes[j] == 0) { //当这句话成立时，就意味着primes[j]一定是i的最小质因子
                break;
            }
        }
    }
}
/*
    当n = 1e6时，埃氏筛法和线性筛法运行时间差不多
    当n = 1e7时，线性筛法比埃氏筛法快一倍
*/
int main() {
    int n;
    cin >> n;
    get_primes_3(n);
    cout << cnt << endl;
    return 0;
}

 2020年8月2日复习更新，果然复习之后之前不明白的地方就容易明白了

线性筛法里，42行primes[j] <= n / i，是primes[j] * i <= n的变形，防止越界

然后把primes[j] * i筛掉

然后我终于看明白别人的题解了

void get_primes(){
    
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!st[i]) primes[cnt++]=i;
        for(int j=0;primes[j]<=n/i;j++){//primes[j]<=n/i:变形一下得到——primes[j]*i<=n,把大于n的合数都筛了就没啥意义了
        
            st[primes[j]*i]=true;//用最小质因子去筛合数,一定有pj是pj * i的最小质因子

            //1)当i%primes[j]!=0时,说明此时遍历到的primes[j]不是i的质因子，那么只可能是此时的primes[j]<i的
            //最小质因子,所以primes[j]*i的最小质因子就是primes[j];
            //2)当有i%primes[j]==0时,说明i的最小质因子是primes[j],因此primes[j]*i的最小质因子也就应该是
            //prime[j]，之后接着用st[primes[j+1]*i]=true去筛合数时，就不是用最小质因子去更新了,因为i有最小
            //质因子primes[j]<primes[j+1],此时的primes[j+1]不是primes[j+1]*i的最小质因子，此时就应该
            //退出循环，避免之后重复进行筛选。
            if(i%primes[j]==0) break;
        }
    }

}

作者：orzorz
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