1.试除法判定质数 2.分解质因数 质数

数论的基础知识

质数（又称素数）的定义：质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。

还有其他因数的是合数

1既不是质数也不是合数

一：如何判断一个数是不是质数：试除法。时间复杂度O(sqrt(n))

性质：如果d能整除n的话，d | n，那么n / d也能整除n，(n / d) | n

n的所有约数都是成对出现的，d和n / d

所以我们在枚举的时候，可以只枚举每一对中较小的那一个

所以我们只枚举d <= (n / d)这样的d，即d * d <= n，d <= sqrt(n)。时间复杂度一定为O(sqrt(n))

二：分解质因数：试除法。

小学知识，如何将一个数分解质因数，短除法

分解质因数用短除法，把一个数进行短除可以分解成若干个质数相乘

分解质因数要从最小的质数2开始除，直到没有因数2再除以下一个质数3…直至除得的商也是质数为止。

如何用编程实现短除法

暴力做法

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
void divide(int n) {
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (n % i == 0) { //求i的次数。只要这行成立，i一定是质数
            int s = 0;
            while (n % i == 0) {
                n /= i;
                s++;
            }
            //结束后，s就是i的次数
            cout << i << " " << s << endl;
        }
    }
}
int main() {
    int n;
    cin >> n;
    while (n--) {
        int x;
        cin >> x;
        divide(x);
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

这里有些细节，对一个数分解质因数，从思路上想，应该枚举这个数所有的质因数，但是在第4行，是枚举了n这个数所有的因数 

枚举所有的因数，而不是枚举所有的质因数，会不会错了

其实是没错的，然后就是数论较难理解的数学知识部分了，为什么这样不错

　　当枚举到i的时候，就意味着已经把从2 ~ i - 1所有的n的质因子都除干净了

　　然后如果又有n % i == 0成立的话，n是i的倍数，所以i当中也不包含任何2 ~ i - 1的质因子，所以i一定是个质数

这样的做法时间复杂度O(n)，然后想办法进行优化

首先有个性质：任意一个正整数n最多只有一个质因数大于根号n

很容易用反证法证明，如果n这个数有两个质因数大于根号n，那两个大于根号n的数相乘就大于n了

所以我们可以先把所有小于等于根号n的质因子枚举出来，这样时间复杂度就是O(sqrt(n))，最后再找那一个可能存在的大于根号n的质因子

时间复杂度最好的是O(log n)，最坏是O(sqrt(n))

 题目一：试除法判定质数

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
bool is_prime(int n) { //试除法
    if (n < 2) {
        return false;
    }   
    for (int i = 2; i <= n / i; i++) {
        if (n % i == 0) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}
int main() {
    int n;
    cin >> n;
    while (n--) {
        int x;
        cin >> x;
        if (is_prime(x)) {
            cout << "Yes" << endl;
        } else {
            cout << "No" << endl;
        }
    }
    return 0;
}

题目二：分解质因数

 

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
void divide(int n) {
    for (int i = 2; i <= n / i; i++) {
        if (n % i == 0) { //求i的次数。只要这行成立，i一定是质数
            int s = 0;
            while (n % i == 0) {
                n /= i;
                s++;
            }
            //结束后，s就是i的次数
            cout << i << " " << s << endl;
        }
    }
    if (n > 1) { //如果最后n还大于1,那么此时的n就是那个大于根号n的质因子
        cout << n << " " << 1 << endl;
    }
}
int main() {
    int n;
    cin >> n;
    while (n--) {
        int x;
        cin >> x;
        divide(x);
        cout << endl;
    }
    return 0;
}