13.整数划分 计数类DP

 每种划分方式都是按照从大到小排序的

样例分析：

5有7种划分方式

5 = 5

5 = 4 + 1

5 = 3 + 2

5 = 3 + 1 + 1

5 = 2 + 2 + 1

5 = 2 + 1 + 1 + 1

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

解法一：用背包问题的思想

把整数n看做一个容量为n的背包

然后一共有n个物品，每个物品的体积分别是1,2,3，...，n。（也就是n这个数的所有因子）

每种物品可以用无限次，所以是完全背包问题

求恰好装满背包的方案数

状态表示：

集合：dp[i][j]表示从物品1~i中选，总体积恰好为j的选法的集合

属性：数量

状态计算：集合的划分，同背包问题

根据第i个物品选了几个来划分

状态数量：n ^ 2

转移数量：n(粗略估计的，比n小，应该为log n)

时间复杂度:n ^ 3

然后进行优化

 

二维做法

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010, mod = 1e9 + 7;
int dp[N][N];
int main() {
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 0; i <= n; i++) { //注意是从0开始
        dp[i][0] = 1; //容量为0时，前i个物品全不选也是一种方案
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 0; j <= n; j ++) {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j] % mod; //特殊dp[0][0] = 1
            if (j >= i) {
                dp[i][j] = (dp[i - 1][j] + dp[i][j - i]) % mod;
            }
        }
    }
    cout << dp[n][n] << endl;
    return 0;
}

然后再转化为一维，再从小到大循环体积

注意初值问题：
求最大值时，当都不选时，价值显然是 0
而求方案数时，当都不选时，方案数是 1（即前 i 个物品都不选的情况也是一种方案），所以需要初始化为 1
即需要这样：

for  (int i = 0; i <= n; i++)  {

　　dp[i][0] = 1;

}
等价变形后： f[0] = 1

一维做法

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010, mod = 1e9 + 7;
int dp[N];
int main() {
    int n;
    cin >> n;
    dp[0] = 1; //一个数都不选，是一种方案
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = i; j <= n; j++) {
            dp[j] = (dp[j] + dp[j - i]) % mod;
        }
    }
    cout << dp[n] << endl;
    return 0;
}

 解法二：

 PS : 最小值1 表示 ：j个数的总和是i的数中最小的数为1

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010, mod = 1e9 + 7;
int dp[N][N];
int main() {
    int n;
    cin >> n;
    dp[0][0] = 1; //总和是0，用0个数来表示，是1种方案
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= i; j++) { //总和是i的话，最多表示成i个数的和
            dp[i][j] = (dp[i - 1][j - 1] + dp[i - j][j]) % mod;  
        }
    }
    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        res = (res + dp[n][i]) % mod;
    }
    cout << res << endl;
    return 0;
}