CSP-S2019 D1T2 括号树

CSP-S2019 D1T2 括号树

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题目背景

本题中合法括号串的定义如下：

1. () 是合法括号串。
2. 如果 A 是合法括号串，则 (A) 是合法括号串。
3. 如果 A，B 是合法括号串，则 AB 是合法括号串。

本题中子串与不同的子串的定义如下：

1. 字符串 S 的子串是 S 中连续的任意个字符组成的字符串。S 的子串可用起始位置 ll 与终止位置 rr 来表示，记为 S (l, r)S(l,r)（1 leq l leq r leq |S |1≤l≤r≤∣S∣，|S |∣S∣ 表示 S 的长度）。
2. S 的两个子串视作不同当且仅当它们在 S 中的位置不同，即 ll 不同或 rr 不同。

题目描述

一个大小为 nn 的树包含 nn 个结点和 n − 1n−1 条边，每条边连接两个结点，且任意两个结点间有且仅有一条简单路径互相可达。

小 Q 是一个充满好奇心的小朋友，有一天他在上学的路上碰见了一个大小为 nn 的树，树上结点从 11 ∼ nn 编号，11 号结点为树的根。除 11 号结点外，每个结点有一个父亲结点，uu（2 leq u leq n2≤u≤n）号结点的父亲为 f_uf**u（1 ≤ f_u < u1≤f**u<u）号结点。

小 Q 发现这个树的每个结点上恰有一个括号，可能是( 或)。小 Q 定义 s_is**i 为：将根结点到 ii 号结点的简单路径上的括号，按结点经过顺序依次排列组成的字符串。

显然 s_is**i 是个括号串，但不一定是合法括号串，因此现在小 Q 想对所有的 ii（1leq ileq n1≤i≤n）求出，s_is**i 中有多少个互不相同的子串是合法括号串。

这个问题难倒了小 Q，他只好向你求助。设 s_is**i 共有 k_ik**i 个不同子串是合法括号串， 你只需要告诉小 Q 所有 i imes k_ii×k**i 的异或和，即：

(1 imes k_1) ext{xor} (2 imes k_2) ext{xor} (3 imes k_3) ext{xor} cdots ext{xor} (n imes k_n)(1×k1) xor (2×k2) xor (3×k3) xor ⋯ xor (n×k**n)

其中 xorxor 是位异或运算。

输入格式

第一行一个整数 nn，表示树的大小。

第二行一个长为 nn 的由( 与) 组成的括号串，第 ii 个括号表示 ii 号结点上的括号。

第三行包含 n − 1n−1 个整数，第 ii（1 leq i lt n1≤i<n）个整数表示 i + 1i+1 号结点的父亲编号 f_{i+1}f**i+1。

输出格式

仅一行一个整数表示答案。

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题解：

还是先放回忆杀。

用了将近一个点来切T1，但是最后还是因为没开ull见了5分的祖宗。剩下的时间基本都在淦T2，因为T3基本上是毫无头绪。于是T2还是挂了。总之当时考场思路是一团乱麻，根本不知道自己想要写什么。还是蒟蒻太菜了。

细细思考，题意需要我们干什么？首先，处理出从1号点到每个点的括号序列，然后统计它的合法子串数目，最后异或和。

主要卡在如何统计合法子串数目（废话）。

这种统计数目的题，肯定要先试一试递推。那么，递推的转移过程，其实就是看一个新的半括号进场的时候，对答案有什么样子的影响。可以发现的性质是，一个合法括号串一定是一个平衡括号串。如果是左括号，肯定还没构成合法括号串，如果是右括号，首先要看它平衡掉了哪个左括号。这样才能进一步确定这个平衡的区间到底是哪个。

更进一步地，对于题目给出的合法括号串定义3，对于一个合法括号串的前面的所有合法括号串，皆可以与当前的括号串构成新的合法子串。这也是统计的时候唯一需要考虑加法原理的地方。

所以可以得出一个状态转移的方程：设(cnt[i])表示以从根到(i)的合法串的数目（注意，并非合法子串）。(last[i])表示离i最近的未被匹配的左括号位置。

即有：

[cnt[i]=cnt[fa[last[i]]]+1 ]

新匹配到的当然是一个新子串，其之前的合法串数目和它自己都会构成一个新的合法子串。于是更新cnt数组，同时，因为last已经被换掉了，所以也要更新last，其更新方法为：

[last[i]=last[fa[last[i]]] ]

比较好理解的。

先放代码：

#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=5*1e5+10;
int n;
ll ans;
char s[maxn];
int tot,to[maxn],head[maxn],nxt[maxn],fa[maxn];
ll cnt[maxn],last[maxn];
//cnt[x]表示根节点到x点的合法串个数，last[x]表示距离x节点最近的未匹配左括号。
void add(int x,int y)
{
	to[++tot]=y;
	nxt[tot]=head[x];
	head[x]=tot;
}
void dfs(int x)
{
	last[x]=last[fa[x]];
	if(s[x]=='(')
		last[x]=x;
	else if(last[x])
		cnt[x]=cnt[fa[last[x]]]+1,last[x]=last[fa[last[x]]];
	for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
		dfs(to[i]);
}
int main()  
{
	scanf("%d%s",&n,s+1);
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		int x;
		scanf("%d",&x);
		fa[i]=x;
		add(x,i);
	}
	dfs(1);
	ans=cnt[1];
	for(int i=2;i<=n;i++)
		cnt[i]+=cnt[fa[i]],ans^=(i*cnt[i]);
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}

这个算法的精妙之处就在于：它的last数组采用了下传的形式，大大减少了时间复杂度。也就是在函数开始之前先把上面的信息复制下来，这样就免去了回溯的麻烦，以及，快速找到需要的信息。

妙哉！