排列组合问题
这篇随笔讲解信息学奥林匹克竞赛比较常见的一种题型——排列组合问题。阅读并理解本篇随笔要求读者具有不低于高中一年级的数学素养，并且了解信息学中递归、深搜算法的基本实现方式，能理解一般的递归程序。
上课！！
1、排列和组合的定义
(1)排列的定义
从(n)个不同元素中，选出(m)个元素按照一定顺序排成一列，叫做从(n)个不同元素中取出(m)个元素的一个排列。
(2)排列数的定义
从(n)个元素中选出(m)个元素的所有排列的个数，叫做从(n)个不同元素中取出(m)个元素的排列数。
(3)全排列的定义
当(n=m)时所有的排列情况叫做全排列。
(4)组合的定义
从(n)个不同元素中，选出(m)个元素并成一组，叫做从(n)个不同元素中取出(m)个元素的一个组合。
(5)组合数的定义
从(n)个元素中选出(m)个元素的所有组合的个数，叫做从(n)个不同元素中取出(m)个元素的组合数。
(6)排列&组合的区别
通俗地说，组合不分顺序，而排列分顺序，也就是说，对于数列(1,2)，有以下两种排列：(1,2)和(2,1)，但是仅有一种组合(1,2)或(2，1).
2、排列&组合的公式
(1)关于排列的公式
从(n)个不同元素中，选出(m)个元素的排列数，数学表示为：(A_n^m).
计算公式如下：
[A_n^m=n(n-1)(n-2)cdots(n-m+1)=frac{n!}{(n-m)!}
]
(2)关于组合的公式
从(n)个不同元素中，选出(m)个元素的组合数，数学表示为：(C_n^m).
计算公式如下：
[C_n^m=frac{A_n^m}{m!}=frac{n!}{m!(n-m)!}
]
(3)关于全排列的公式
某个数列的全排列数(f(n))，计算公式如下：
[f(n)=n!
]
3、全排列的求法
例题：生成全排列（深搜基础题）
给定(n),生成(1-n)的全排列。
我们考虑用递归来解决全排列问题：
递归出口是当x==n+1地时候，绝对不能仅仅等于n！！
我们的递归部分使用标记数组和数列数组实现，具体实现方法可以参照下图：
我们递归的过程大体是以下的思路:
三个数位可能出现1-3每个数，所以我们使用递归算法求解的时候，先圈定这一个值，然后继续下搜，遍历完这“一条链”的时候，就上回一个数位看看还有没有其他选择，这样就保证了解不重不漏。
例题代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[20],v[20];
void dfs(int x)
{
if(x==n+1)
{
for(int i=1;i<n;i++)
printf("%d ",a[i]);
printf("%d
",a[n]);
return;
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(v[i]==0)
{
a[x]=i;
v[i]=1;
dfs(x+1);
v[i]=0;
}
}
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
dfs(1);
return 0;
}