曲率滤波
本文重点
图像边界往往存在噪声，在获取亚像素级边缘点后，必须对边缘点进行滤波。本文提出一种基于圆曲率的边缘点滤波方法，这种方法很简单，但是却有很好的滤波效果。
1. 曲率简单介绍
曲率是曲线的一个重要特征，它在一定程度上反映了曲线的弯曲程度，对于二维曲线，曲率定义为
${ m{k}} = frac{{frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}}}}{{{{left[ {1 + {{left( {frac{{dy}}{{dx}}} ight)}^2}} ight]}^{frac{3}{2}}}}} = frac{{f''}}{{{{left[ {1 + {{left( {f'} ight)}^2}} ight]}^{frac{3}{2}}}}}$ 式（1.1）
对于同一平面内的任意三个连续点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)，如图1所示，(x2,y2)的曲率定义为
${ m{k}} = frac{1}{r} = frac{1}{{sqrt {{{left( {x0 - x2} ight)}^2} + {{left( {y0 - y2} ight)}^2}} }}$ 式（1.2）
式中(x0,y0)为这三点组成圆的圆心，且有
${ m{x}}0 = frac{{a - b + c}}{d}$
${ m{y}}0 = frac{{e - f + g}}{{ - d}}$
a=(x1+x2)(x2-x1)(y3-y2)
b=(x2+x3)(x3-x2)(y2-y1)
c=(y1-y3)(y2-y1)(y3-y2)
d=2[(x2-x1)(y3-y2)-(x3-x2)(y2-y1)]
e=(y1+y2)(y2-y1)(x3-x2)
f=(y2+y3)(y3-y2)(x2-x1)
g=(x1-x3)(x2-x1)(x3-x2)
图一
推导方法由三个点共面，三个点到圆心距离相等求得。
即
$left| {egin{array}{*{20}{c}}{egin{array}{*{20}{c}}x&y&z&1\{x1}&{y1}&{z1}&1\{x2}&{y2}&{z2}&1end{array}}\{egin{array}{*{20}{c}}{x3}&{y3}&{z3}&1end{array}}end{array}}
ight| = 0$ (1)
R2 = (x1-x0)2+(y1-y0)2+(z1-z0)2 (2)
R2 = (x2-x0)2+(y2-y0)2+(z2-z0)2 (3)
R2 = (x3-x0)2+(y3-y0)2+(z3-z0)2 (4)
2. 滤波原理及算法
在标准圆中，其边缘点的曲率相同，都等于标准半径的倒数。而在实际中，由于边缘点不是在理想的圆周点，边缘点的曲率会在某个值附近波动，这个值可以根据半径粗定位获得，称之为圆的粗定位曲率。如果边缘点存在噪声，该点的曲率在粗定位曲率附近有较大的波动，即该点曲率与粗定位曲率之差大于某个阈值（阈值通过实际情况判断）。通过式1.1知，一个噪声点会影响其临近的两个点的曲率值，因此只有当一个点的前后两个点的粗定位曲率都大于阈值，该点本身曲率也大于阈值，则该点才是噪声点，这样计算出的亚像素边缘经过曲率过滤会更接近标准圆。
具体算法：
Step1：根据式（1.2）求得各个亚像素级边缘点的曲率。
Step2：令粗定位曲率为c（其值为粗定位圆半径的倒数），阈值为t，当前点为P（x0,y0），当前点，前一点，后一点曲率分别为Q0, Q-1,Q1。如果满足以下三个条件时，则认为点P（x0,y0）为噪声点，予以剔除。
条件1：|Q0-c|>t;
条件2：|Q-1-c|>t;
条件3：|Q1-c|>t.
【 结束 】