DP 题集 1

关于 DP 的一些题目

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参考资料

• [Tutorial] Non-trivial DP Tricks and Techniques

DP

• Rain and Umbrellas
• Mr. Kitayuta, the Treasure Hunter
• Power of String 首先我们最多只会在一种字母中选择部分个，否则要么都选，要么都不选。以及我们一定会把其他字母转化成一种字母。枚举要转化成的字母以及可能选部分的字母，然后就是01背包DP。复杂度(O(26^3k))
• Fibonacci String Subsequences 对于这类字符串计数DP，一般就要考虑怎么去拼接字符串，DP的状态和字符串的子串有关。(dp[i][l][r]) 表示到第 (i) 个 Fibonacci 串时，包含了目标串的子串 ([l,r]) 的子序列的个数。
• Gerald and Giant Chess 考虑到 (k=2000)，所以 DP 的状态必然是和障碍物有关的，(dp[i])表示到达第 (i) 个障碍物的路径上没有经过其它障碍物的方案数。
• Buggy Robot (dp[x][y][i]) 表示到 ((x,y)) 这个点，在字符串中走到了第 (i) 个位置的最小花费。在 (BFS) 中进行状态转移，转移复杂度 (O(1))。
• Group Projects 学到一个DP姿势。分组计数，(dp[i][j][k])表示到第 (i) 个人时，有 (j) 个组还是开放的（即可以被选择）不公平的值的和为 (k) 时的方案数。关键就是开放的组这一维，枚举 (a[i]) ，我们可以去定义他的行为，是独自成组？还是加入别的组？还是新建一个开放的组？还是加入一个组并关闭这个组？显然不同的行为对应不同的状态转移。还有由于我们知道了开放的组的数量(j) ，考虑 ((a[i]-a[i-1])*j) ((i eq0))((a) 数组先排序) ，就是那些仍然开放的组需要加的不公平的值的和。
• Increase Sequence (dp[i][j]) 表示到第 (i) 个数时，有 (j) 个还未关闭的区间的方案数（这里未关闭的意思是还没有确定区间的右端点）。显然考虑每一个还未关闭的区间，都会给当前点加上 (1) ，据此可以推出状态转移方程了。时间复杂度 (O(n))。
• Sereja and Intervals (dp[i][j][k]) 表示到第 (i) 个数时，还有 (j) 个未关闭的区间，已经关闭了 (k) 个区间的方案数。对于每个数，考虑是关闭前面的区间呢（显然只能关闭第一个未关闭的区间）？还是新开一个区间？还是不管这个数。
• Ducks in a Row 可以发现翻转的区间一定不相交，所以可以考虑 (DP)。(dp[o][i][j][k]) 表示到 (o) 这个位置，前面是否翻转 ( (i) )，连续的 (D) 的数量为 (j) ，符合条件的(D)连续段的数量为 (k) 时所需的最小翻转次数。因为 (j*kleq)字符串的长度。所以时间复杂度 (O(n^2))。
• Spinning Up Palindromes (dp[l][r][i][j]) 表示 (S[1...l]) 等于 (S[r...n]) 时从 (dp[l-1][r+1][i'][j']) 转移过来，(l+1) 是否需要向 (l) 进位 ((i)) ，(r) 从 (r+1) 得到的进位为 (j) 时的最小花费。转移怎么好写怎么来，大力枚举使得两边相同时要加的数即可。因为 (l) 和 (r) 具有相关性，所以数组可以写成 (dp[l][i][j])。
• Eighty seven 考虑前缀后缀，开两个 (bitset) 类型的 (DP) 数组，以前缀为例，(dp[i][j][k]) 表示到第 (i) 个数，一定不选 (j) 这个位置上的数，选了 (k) 个数时所有可能的和（二进制位为(1)表示有这样的和）。对于后缀的数组，如果二进制位 (i) 上的数字为(1)，可修改为 (bit[87-i]=1)，那么对于询问，枚举 (k) ，将前缀后缀按位与，检查是否有二进制位为(1)。
• Candy Chain (f[l][r]) 表示删掉 (S[l...r]) 这个子串能得到的最多的钱。然后 (dp[i] = max(dp[i-1], dp[j] + f[j+1][i]) (j < i)) ，(dp[len(S)]) 即为答案。预处理 (f[l][r])，枚举 (S) 的子串 (s) 以及所有的待匹配串 (t) ，令 (g[i][j]) 表示 (s[1...i]) 删除一些字符（或不删）等于 (t[1..j]) 时得到的最多的钱。(f[l][r]=g[r][len(t)])。也可以用字典树优化，将待匹配串建树，同样枚举子串，然后有 (g[i][j]) 表示以 (i) 结尾的字符串在字典树上的状态为 (j) 时可以得到的最多的钱，(f[l][r]=g[r][0])。有三种转移，要么在字典树上向下走，要么删掉一个区间（可以借助已经计算出的 (f[l][r]) 转移），要么删掉 (j) 这个状态代表的字符串。
• Mahmoud and Ehab and yet another xor task 考虑异或集合的性质（对于任意两个数，他们的异或值都在集合中），对于一个数 (a[i]) 如果 (a[i]) 不在集合中，那么对于集合中的任意数 (x)， (a[i] xor x) 都不会在集和中。维护一个集合，枚举 (a[i]) ，如果发现 (a[i]) 已经在集合中，所有数的构成方案数都翻倍，否则把这个数和集合中所有的数分别异或并加入集合。可以发现这样需要离线处理，另一种做法，通过预处理线性基在线回答询问。
• Compute Power 求最小比率，二分答案 (x) ，若存在更优的答案，则有 (sumfrac{a_i}{b_i}<x)，判断是否存在 (sum{a_i}-x*{b_i}<0)。先把给的东西按 (a) 从大到小排序，考虑 (dp[i][j][k]) 表示到第 (i) 个时，等于 (a[i]) 的数量为 (j) ，大于的数量为 (k)，根据是否选择进行转移。

树形DP

• Appleman and Tree
• Counting on Tree
• Tree Pruning 虽然 (O(nk^2)) 可以过，但是有(O(nk))的做法，考虑先预处理出 DFS 序再 DP。
• Road Improvement 0 没有逆元，所以不能直接除。对于一个结点，他的兄弟结点的方案数的乘积可以通过预处理前缀后缀得到。

状态压缩DP

• Little Pony and Harmony Chest 状态中0/1表示是否存在某个素数，最多只有17个素因子。
• Remembering Strings 一维数组，时间复杂度(O(m2^n))。状态中0/1表示某个单词是否变成好记的单词了。
• Another Sith Tournament (dp[i][S]) 表示擂主为 (i) 时，活着的人状态为 (S) 时主角能获胜的概率，(dp[0][1]=1)。时间复杂度(O(n^22^n))。
• Exciting Finish! 注意到题目求的是有多少种不同的排名，即分数不同排名相同属于同一种情况。又分配的分数呈不下降，所以当我们分配一个分数给某人时，可以当成也给其他未分配的人分配了相同的分数，那么要使一个人的分数变成最大，只需要比较初始分数即可。(dp[s][i][j]) 表示人的状态为 (s) ，上一次分配的人是 (i)，还剩下分数 (j) 未分配的方案数。记忆化搜索实现。