• #421 Div1 C


    #421 Div1 C

    题意

    在 (0, n) 和 (m, 0) 处各有一个装置,从起始点(0, 0)出发,首先走短路到 (m, 0) 拿起装置回到起始点,再去 (0, n) 处拿起装置回到起始点。当 (m, 0) 处的装置被触碰后,对于后面所有时刻,如果存在某一时刻有一点 (x, y) 和其余两个装置的位置三点组成的三角形面积为s,则计数加1,求最终计数。

    分析

    • 对于状态 1,即从 ((m, 0)) 移动到 ((0, 0)) 的过程,设在 x 轴上移动的坐标为 ((k, 0)) ,设任意点坐标 ((x, y)) ,则有 (((0, n) - (k, 0)) imes ((x, y) - (k, 0)) = 2 * s) ,作向量叉乘运算。有(|k*y + n*x - n*k| = 2*s),如果要求 (x, y) 有整数解,则要求 (gcd(k, n)|2*s (1 leq k leq m)),对 (n, k, 2*s) 分解质因子,设质因子的个数分别为 (ni, ki, si) ,如果要满足条件,则对于所有质因子有 (min(ni, ki) leq si),如果 (ni leq si),则 (ki) 没有限制,如果 (ni > si),则 (ki leq si),可以直接考虑 (ni > si, ki = si + 1) 的情况,只要是(p^{si+1})的倍数都是不符合条件,而剩下的都是符合条件的。可以用容斥原理去求。
    • 对于状态 2,第一个装置已经在原点((0, 0))了,而第二个装置的位置为((0, k)),设任意点坐标 ((x, y)),向量叉乘运算,有 ((0, k) imes(x, y) = 2*s),即(|k*x|=2*s),对于 (1 leq k leq n),求 (k)(2*s) 因子的个数,找到(2*s)的素因子及个数,利用 DFS 求解。

    code

    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    const int MAXN = 1e6 + 5;
    ll a[3]; // n m s
    ll ans;
    int isp[MAXN];
    vector<int> prime;
    struct factor {
        ll x, cnt;
    };
    vector<factor> fac;
    vector<ll> num;
    void init() { // 素数筛
        memset(isp, 0, sizeof isp);
        for(int i = 2; i < MAXN; i++) {
            if(!isp[i]) {
                prime.push_back(i);
                for(ll j = 1LL * i * i; j < (ll)MAXN; j += i) {
                    isp[j] = 1;
                }
            }
        }
    }
    vector<factor> getfac(ll x) { // 筛选出质因子及其个数
        vector<factor> vec;
        for(int i = 0; (ll)prime[i] * prime[i] <= x; i++) {
            int c = 0;
            while(x % prime[i] == 0) {
                c++;
                x /= prime[i];
            }
            if(c) {
                vec.push_back(factor{prime[i], c});
            }
        }
        if(x > 1) {
            vec.push_back(factor{x, 1});
        }
        return vec;
    }
    void dfs1(int pos, ll val, int cnt) { // 容斥
        if(pos >= (int)num.size()) {
            if(cnt & 1) ans -= a[1] / val;
            else ans += a[1] / val;
            return;
        }
        dfs1(pos + 1, val * num[pos], cnt ^ 1);
        dfs1(pos + 1, val, cnt);
    }
    void solve1() { // 状态 1
        num.clear();
        fac.clear();
        fac = getfac(a[0]);
        for(int i = 0; i < (int)fac.size(); i++) {
            ll sum = 1;
            for(int j = 0; j < fac[i].cnt; j++) {
                sum *= fac[i].x;
                if(a[2] % sum != 0) {
                    num.push_back(sum);
                    break;
                }
            }
        }
        dfs1(0, 1, 0);
    }
    void dfs2(int pos, ll val) {
        if(pos >= (int)fac.size()) {
            ans += (val <= a[0]);
            return;
        }
        ll sum = 1;
        for(int i = 0; i <= fac[pos].cnt; i++) {
            dfs2(pos + 1, val * sum);
            sum *= fac[pos].x;
        }
    }
    void solve2() { // 状态 2
        fac.clear();
        fac = getfac(a[2]);
        dfs2(0, 1);
    }
    int main() {
        int T;
        init();
        cin >> T;
        while(T--) {
            ans = 0;
            for(int i = 0; i < 3; i++) {
                a[i] = 1LL;
                for(int j = 0; j < 3; j++) {
                    ll x;
                    cin >> x;
                    a[i] *= x;
                }
            }
            a[2] *= 2;
            solve1();
            solve2();
            cout << ans << endl;
        }
        return 0;
    }
    
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