动态规划实现数字三角形问题

　（1）题目描述如图所示

　　　　

　　（2）我们用上述矩阵分析：自顶向下分析入下图二维矩阵所示

　　（3）我们从arr[2][0]开始分析，arr[2][0]是计算当前位置按照题中要求（每一条路径只能往下或者右下走），可以得到arr[3][0]>arr[3][1],所以arr[2][0]值更新为arr[3][0]+arr[2][0]，类似的arr[2][1]的值更新为arr[3][1]和arr[3][2]中较大的值，即arr[2][1]+arr[3][2]......按照这样的递推方式，我们可以在arr[0][0]的时候得到最大值，这个最大值就是我们需要求出的最长路径。

　　（4）而由上述分析，我们也可以简单的总结出这个题目的状态公式：

　　（5）这样我们可以简单的总结出代码

/**
 * 三角形矩阵  求最小路径
 *
 */
public class Test5 {
    //给定一个二维数组
    static int[][] arr = {
                            {2,0,0,0},
                            {3,4,0,0},
                            {6,5,7,0},
                            {4,1,8,3}};
    static int[][] triangle = {
            {7,0,0,0,0},
            {3,8,0,0,0},
            {8,1,0,0,0},
            {2,7,4,4,0},
            {4,5,2,6,5}
    };
    /*
     * 状态方程
     * f(i,j) = min{f(i,j+1),f(i+1,j+1)}+(i,j)
     */
    public static void main(String[] args) {
        
        int len = arr.length;
        System.out.println("动态规划：");
        System.out.println(maxTotal(arr));
        System.out.println(maxTotal(triangle));
    }
    
    /**
     * 动态规划实现
     * @param arr
     * @return
     */
    static int maxTotal(int[][] arr) {
        for (int i = arr.length - 2; i >= 0; i--) {
            for (int j = 0; j < i+1; j++) {
                arr[i][j] += Math.max(arr[i+1][j], arr[i+1][j+1]);
            }
        }
        return arr[0][0];
    }
}

　　（6）测试结果也是显而易见的：