卡方分布的基本性质
n=1的卡方分布
它的累积分布函数的定义如下:
F( x) = P {X x}
而z的概率密度函数为
因此:
因为此密度函数为偶函数
令,有
显然这个式子不是闭式的形式,根据原函数定理:
有
的矩生成函数
根据矩生成函数的定义M(t) = E[etX] 有
根据Gamma函数的定义
令 x =αx 有
* λ - 1 = -1/2, 即 λ = 1/2
* α = (1/2 - t),
代入上式即得到:
的矩生成函数
Y = X1 + X2 + ...+ Xn
Xi之间相互独立,且服从于X ~ N(0, 1)的正态分布;
所以MY = [MX]n
的概率密度函数
Gamma分布的一般定义如下:
Gamma分布的概率密度函数依赖α 和 λ两个参数,且对应的矩生成函数为:
现在令λ = 1/2 和 α = n/2 这样就得到了的矩生成函数,现在将这两个参数代入Gamma分布函数中得到:
考虑到矩生成函数的唯一性,所以上式正是λ = 1/2 和 α = n/2的Gamma分布。
矩,众数
Gamma(λ, α)分布的均值是α/λ, 所以的均值为n.
Gamma(λ, α)的方差为α/λ²,所以的方差为2n.
Gamma(λ, α)的众数为(α- 1)/λ,所以的众数为n - 2.
一些特别的情况
当n=1时,垂直渐近线
当n=2时,为指数分布
卡方分布的可加性
* X~n
* Y ~m
* X 和 Y相互独立
正态分布样本方差的分布