矩阵快速幂

快速幂

　　先来讨论整数的快速幂算法，相比于一般的计算a^b时间复杂度O(n)，快速幂的复杂度是O(logn)，效率要更高。比如要计算x^19，19的二进制表示是10011，分别找到二进制1出现的位置对应的数值，1，2，16。而19也正好可以写成1+2+16，所以x ^ 19 == (x ^ 1) *(x ^ 2) *(x ^ 16)。要找1出现的位置，可以依次移位判断。代码如下，可以一步步演算来验证一下：

int quickPow(int a, int b)  //a^b
{
    int ans = 1;
    while(b)
    {
        if(b & 1)
            ans *= a;
        a *= a;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

矩阵快速幂

　　将快速幂的概念推广到矩阵，矩阵的幂运算首先是矩阵乘法，要满足第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，推广到幂，即满足方阵。

　　矩阵快速幂的重点在于T矩阵的构造，A(n) = T * A(n-1)。具体应用还需要具体分析

const int maxn = 2;
const int mod = 1e5 + 10;

//矩阵存储结构
struct Matrix
{
    int mat[maxn][maxn];
};

//矩阵乘法
Matrix operator * (Matrix a, Matrix b)
{
    Matrix ans;
    //memset(ans.mat, 0, sizeof(ans.mat));
    fill(ans.mat[0], ans.mat[0] + maxn * maxn, 0);
    for(int i = 0; i < maxn; i++)
    {
        for(int j = 0; j < maxn; j++)
        {
            for(int k = 0; k < maxn; k++)
            {
                ans.mat[i][j] += a.mat[i][k] * b.mat[k][j];
                ans.mat[i][j] %= mod;
            }
        }
    }
    return ans;
}

//矩阵快速幂
Matrix operator ^ (Matrix a, int n)
{
    Matrix ans;
    //初始化为单位矩阵
    for(int i = 0; i < maxn; i++)
    {
        for(int j = 0; j < maxn; j++)
        {
            ans.mat[i][j] = (i == j);
        }
    }
    while(n)
    {
        if(n & 1)
            ans = ans * a;
        a = a * a;
        n >>= 1;
    }
    return ans;
}