CFA 投资学 11.固定收益证券：久期，修正久期，凸性

一、债券的风险来源

• 违约风险/信用风险
• 流动性风险 - 购买债券会占用现金流，在需要用现金时，未必能及时套现
• 利率风险/市场风险 - 讲师：影响债券价格的唯一宏观变量就是利率变动

这一讲，我们重点在如何管理债券投资组合的利率风险。

二、如何管理利率风险？积极管理/消极管理

积极管理 active management

• 相信市场是无效的，有套利机会
• 通过市场利率的预测收益率，来识别错估的债券

消极管理 passive management

• 相信市场是有效的，没有套利机会
• 持有债券指数，去除利率风险

2.1 积极管理 -- 预测市场利率的收益率曲线 forecasting yield curve

如果预测曲线走势是图（1），那么就要买入“短期”和“长期”的债券，卖出“中期”的债券，又称哑铃组合 -- 收益率低，价格会升高。回想债券定价公式，收益率是在分母上的。

如果预测曲线走势是图（2），那么就要买入“中期”的债券，又称子弹组合

看起来，就是买低卖高很简单。但是难处就是在如何准确的预测市场利率的收益率曲线。

2.2 消极管理 - 免疫策略 immunization techniques

免疫策略，就是将组合的利率风险降为零。

1）为什么需要免疫策略？

资产负债表中：

• 资产Asset一般是长期投资，具有更长的久期；
• 负债liability一般是短期借债，具有更短的久期

因此当利率突然上升时，资产 和 负债 的市值都会下降。但由于资产具有更大的久期，因此其市值下降的更多，造成资不抵债的状况！

因此要构建免疫策略，使得资产负债表左右两边具有相同的利率敏感度，不再受到利率影响。

2）投资组合修正久期的计算公式

一个组合的修正久期，就是所有组成部分修正久期的加权汇总：

• w_i 是指组合中第i份资产的权重
• D_i* 是组合中第i份资产的修正久期

3）免疫策略的例子

负债：

• 公司借了$10,000，5年到期，每年付息8%，只需要在第5年末需要一起返还 10,000 * (1.08)⁵ = 14,693.28
• 可以看成是一个零息债券

其他条件/假设：

• 假设市场收益率曲线保持平稳，一直是8%；或者哪怕是变化，只能平行上移或下移
• 并且获得的利息用于再投资，投资到相同的债券中去。

资产：

• 请问如何做一笔投资，能保证5年后能还清债务
• 并不受市场利率变化的影响？

答案：买一个面值也为$10,000的债券，coupon rate 8%，每年付息，6年到期。（因为票面利率和市场利率相同，因此债券售价就是par value $10,000）

计算久期

负债久期：因为可以看成零息债券，因此久期就是maturity，5年

资产久期：4.90 ≈ 5

要求1：利率变动对资产负债的价值影响免疫

无论利率平移上行还是下行，资产负债两边的估值仍旧保持几乎相等

要求2: 五年后能偿还债务

由于资产的那只债券maturity是6年，但借款5年就到期，因此在第5年就要卖出债券 sale of bond,其价值就是现金流折现一年得到的。

每期利息会再投资

发现三种情况下，资产都能还清负债，还都有盈余。

4）免疫策略的本质

资产的价值，在免疫策略中可以保证基本不变，是因为两个变化存在抵消情况：

1. 债券价格变化 - 价格的变化和利率的变化成反比
2. 再投资变化 - 债券利息的再投资收益与利率的变化成正比

5）免疫策略存在的问题

免疫策略，只是在“当下”能完美平衡资产负债两边的久期。一旦条件发生变化，就会不再平衡：

• 随着时间流逝，资产和负债的久期，会以不同的速度下降，导致久期不匹配
• 收益率的变动，也会影响久期

因此如果想保持资产组合的久期一直匹配，就需要不停的调整组合。。。但这太成本太高，一般实际中只是近似即可。

6）免疫策略中，资产总比负债多一部分，是为何？

把资产（红色，有息债券）和负债（零息债券）看做是两个债券。

是因为资产的债券，具有更大的凸性。因此无论利率上升还是下降，红色总在绿色的上方。

三、久期 Duration

Frederick Macaulay Duration, 麦考利久期

久期，是衡量债券利率风险的重要指标。久期越大（债券暴露在市场的有效期限越长），代表债券价格对利率变化越敏感

本质是现金流入时间点的加权平均，或者说是所有现金到期日的加权平均，因此它是一个特殊的期限，称有效期限effective maturity

可以理解为，一只债券暴露在市场里（市场利率下）的实际/有效时间长短。

3.1 计算久期

计算有息债券久期

第四列weight，是用每一期现金流的贴现值，占总PV的比例算出来的。

最后一列，是用weight * time years, 最后加总起来就是该债券的久期1.8853，一定比本身的maturity小。

计算零息债券久期

由于零息债券所有的现金流都在最后，因此久期依然等于maturity。

计算永续债券久期

永续债券的久期并不取决于息票。得到一个经验法则：对于长期支付息票的债券，在大多数情况下期限应该低于  。

长期债券的久期可以用具有相同收益率的永续债券的久期来近似表示， 

3.2 久期再理解

例子：该债券8年到期，9%票面利率，到期收益率是10%，每年付息。

红色 + 蓝色, 是每一期的实际现金流，可以想象成一个体积的木块。

蓝色，是每一期现金流的贴现值。可以想象成密度/重要性（可以看到第一期几乎都是蓝色，越往后占比越少。）

把横轴想象成一个天平，计算出的久期5.97，就是在此处放一根木棍能使得两边能够平衡的地方。

（cuixunxu: 下图注释的红色和蓝色，不是很准确.以上方文字为准）

四、哪些因素影响久期？

在其他因素相同的情况下：

 

• 期限maturity越长，久期越大
  • -- 直观理解：期限越长，自然暴露在市场里的时间长
• 票面利率coupon rate越小，久期越大
  • -- 直观理解：票面利率越小，表示越多的现金流被押注在最后一期身上。久期本质是现金流入时间点的加权平均，因此该情况久期会变大。
• 到期收益率ytm越小，久期越大
  • -- 直观理解：根据 price-interest rate图，利率越小，价格对应的那段越陡峭。此时利率变化1%，价格变动的越剧烈，代表对市场利率越敏感。

五、修正久期modified duration - “估算”债券价格变化

公式（1）是久期的计算公式

• y到期收益率
• dy是到期收益率变化量，也表示为△y
• P债券价格
• dP是价格变化量,也表示为△P
• D久期

把-D/1+Y定义为D*，称作修正久期modified duration

可以变形为公式（3），发现债券价格变化相的百分比dP/P（图的纵轴）,和到期收益率dy（图的横轴，写成了dr）是一个线性的关系D*。而这个D*就是过原点的这一条切线。

把P挪到等号右边，则变成了得知D*修正久期，P债券价格，△y到期收益率变化，就能估算△P债券价格变化。

这里的估算，实际就是用这条穿过原点的切线，去近似实际的曲线。因此只有△y较小时，估计值才更准确。

用修正久期D*，是在估算价格变化！

示例：计算债券价格变化的百分比

示例1

Q:修正久期是9，收益率下降50个基点basis point (1个基点是万分之一，0.01%) 

A:代入公式（3），债券价格变化相的百分比dP/P = - dyD* = -(-0.5%) * 9 = 4.5% 

因为这里是falls 50个基点，因此计算时应该代入（-0.5%） 

示例2

Q:麦考利久期是10，到期收益率4%。如果ytm上升了50个基点，债券价格变化百分比是多少？

A: 先根据条件,以及公式（2）算出修正久期：

D* = D/(1+y) = 10 / 1.04 = 9.615

再根据公式（3）：

-（0.5%）*9.615 = -4.81%

因此，债券价格下降了4.81%

六、凸性convexity - 二阶导数项，提升“估算”精确度

6.1 修正久期的不足

红绿两个债券的修正久期，是那同一条黑色线。但是其实这两个债券对利率的敏感度是不同的。

说明单用修正久期，不足以说明两个债券对利率的敏感度差异。

6.2 凸性的由来

将以下公式做泰勒展开：

一阶（△y）导数项D*，是修正久期；二阶（△y²）导数项convexity，是凸性