生成树

1.树的等价命题

2.树的性质

3.生成树个数

3.最小生成树

树是很重要的一个数学概念，同时也是一个很重要的计算机概念。很多图的性质如果不方便验证，都会先在树上面验证。

1.树的等价定义

假设T至少有两个顶点，下述命题等价

a.无圈连通图

b.无圈且m=n-1

c.连通且m=n-1

d.连通图删去任意边不连通

e.增加任意边有且仅有一个圈

f.任意两个节点间有且仅有一个道理连通

其中m是T的边数，n是顶点个数

a=>b只需要证明m=n-1，归纳证明

n=2时，成立。

n>2时，假设结论对一个含有n个顶点的树成立，此时m=n-1。现证明结论对一个含有n+1个顶点的树也成立。对于含有n+1个顶点的树T，他必含有度数为1的顶点v，我们去点v和其关联的边形成的删点子图T-v是一个含有n个顶点的树，根据假设有m=n-1，并且T-v比T少一个顶点和一个边，因此对于T有。m+1=(n+1)-1.

2.树具有哪些性质呢？

  性质1.任何顶点数大于等于2的数，至少含有两个叶子节点

   

2.生成树

  深度优先和广度优先可以求生成树

3.生成树个数

方法1：用cayley定理求

方法2:用矩阵树求

4.最小生成树

 用cruskal算法求最小生成树 

5.最短路 径

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我们首先应该明白什么是可平面图，然后知道如何判定一个图是否是平面图。如果一个图是平面图，如何画出这个平面图。

第一个问题是平面图的定义。第二个问题是平面图的判定，第三个问题是平面图的算法。最后还应该了解平面图的性质，平面图最重要的性质就是欧拉公式。

1.可平面图

现在来回答什么是平面图，我们说一个图是平面图，指的是这个图可以画在一个平面上，且任意两个不同边不相见(顶点处除外)。

图G可平面嵌入的充分必要条件是G可球面嵌入。

K₅，K_3，3可环面嵌入，但是不能平面嵌入。曲面嵌入是一个比平面嵌入更一般的概念。

2.欧拉公式及其推广

   连通平面图G有n-m+f=2.其中n是G的点数，m是边数，f是面数。

这个定理的证明需要对f进行归纳。首先证明f=1时定理成立，然后假设f≤k成立，证明f=k+1成立。

3.极大平面图

4.kuratowsky定理,G是可平面图当且仅当G不含于K₅,K_3,3同胚的子图

一个图如果不是可平面图，可以考虑将这个图放到几个平面上，使得每个平面内的边不交叉。也就是将图G的边集划分成几个小边集的并集，并且两两无交集，然后呢肖小边集的个数就是图G的厚度。平面图的厚度是1，非平面图的厚度至少是2，如何计算一个图的厚度目前并没有有效的公式和算法。

平面图在工程技术上和拓扑图论中的具有很重要的应用，从图论的历史看，正式kuratowsky定理的建立和证明打破了图论发展的沉闷局面，该定理是图论振兴的转折点。一句话，这个定理具有很重要的理论意义。

4.灌木生长算法很重要