背包问题---01背包(原理,伪代码,编程实现)

 01背包是在M件物品取出若干件放在空间为W的背包里，每件物品的体积为C₁，C₂，…，C_n，与之相对应的价值为W₁,W₂，…，W_n.求解将那些物品装入背包可使总价值最大。

        动态规划（DP）：

        1） 子问题定义：F[i][j]表示前i件物品中选取若干件物品放入剩余空间为j的背包中所能得到的最大价值。

        2） 根据第i件物品放或不放进行决策

                                                  (1-1)

        其中F[i-1][j]表示前i-1件物品中选取若干件物品放入剩余空间为j的背包中所能得到的最大价值；

        而F[i-1][j-C[i]]+W[i]表示前i-1件物品中选取若干件物品放入剩余空间为j-C[i]的背包中所能取得的最大价值加上第i件物品的价值。

        根据第i件物品放或是不放确定遍历到第i件物品时的状态F[i][j]。

        设物品件数为N，背包容量为V，第i件物品体积为C[i]，第i件物品价值为W[i]。

        由此写出伪代码如下：

F[0][] ← {0}

F[][0] ← {0}

for i←1 to N

    do for k←1 to V

        F[i][k] ← F[i-1][k]

        if(k >= C[i])

            then F[i][k] ← max(F[i][k],F[i-1][k-C[i]]+W[i])

return F[N][V]

        以上伪代码数组均为基于1索引，及第一件物品索引为1。时间及空间复杂度均为O(VN)

        举例：表1-1为一个背包问题数据表，设背包容量为10根据上述解决方法可得到对应的F[i][j]如表1-2所示，最大价值即为F[6][10].

表1-1背包问题数据表

物品号i	1	2	3	4	5	6
体积C	2	3	1	4	6	5
价值W	5	6	5	1	19	7

 

表1-2前i件物品选若干件放入空间为j的背包中得到的最大价值表

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	5	5	5	5	5	5	5	5	5
2	0	5	6	6	11	11	11	11	11	11	11
3	0	5	5	10	11	11	16	16	16	16	16
4	0	5	5	10	11	11	16	16	16	16	17
5	0	5	5	10	11	11	19	24	24	29	30
6	0	5	5	10	11	11	19	24	24	29	30

 

         很多文章讲背包问题时只是把最大价值求出来了，并没有把所选的是哪些物品找出来。本人在学习背包问题之前遇到过很多的类似问题，当时也是只求得了最大价值或最大和，对具体哪些物品或路径等细节也束手无策。再次和大家一起分享细节的求法。

        根据算法求出的最大价值表本身其实含有位置信息，从F[N][V]逆着走向F[0][0]，设i=N,j=V，如果F[i][j]==F[i-1][j-C[i]]+W[i]说明包里面有第i件物品，同时j -= C[i]，不管F[i][j]与F[i-1][j-C[i]]+W[i]相不相等i都要减1，因为01背包的第i件物品要么放要么不放，不管放还是不放其已经遍历过了，需要继续往下遍历。

打印背包内物品的伪代码如下：

i←N

j←V

while(i>0 && j>0)

    do if(F[i][j]=F[i-1][j-C[i]]+W[i])

        then Print W[i]

             j←j-C[i]

    i←i-1

         当然也可以定义一个二维数组Path[N][V]来存放背包内物品信息，开始时Path[N][V]初始化为0,当 F[i][j]==F[i-1][j-C[i]]+W[i]时Path[i][j]置1。最后通过从Path[N+1][V+1]逆着走向Path[0][0]来获取背包内物品。其中Path[0][]与Path[][0]为边界。

        加入路径信息的伪代码如下：

F[0][] ← {0}

F[][0] ← {0}

Path[][] ← 0

for i←1 to N

    do for k←1 to V

        F[i][k] ← F[i-1][k]

        if(k >= C[i] && F[i][k] < F[i-1][k-C[i]]+W[i])

            then F[i][k] ← F[i-1][k-C[i]]+W[i]

                 Path[i][k] ← 1

return F[N][V] and Path[][]

 打印背包内物品的伪代码如下：

i←N

j←V

while(i>0 && j>0)

    do if(Path[i][j] = 1)

        then Print W[i]

             j←j-C[i]

    i←i-1

    在时间及空间复杂度均为O(NV)的情况下，利用Path[][]的方法明显比直接通过F[i][j]==F[i-1][j-C[i]]+W[i]来打印物品耗费空间，Path[][]需要额外的空间O(NV)但总空间复杂度不变仍为O(NV)。但下面要讲到的O(V)的空间复杂度的方法却不能利用关系式F [j]==F [j-C[i]]+W[i]而只能利用Path[][]进行标记.

 

接下来考虑如何压缩空间，以降低空间复杂度。

时间复杂度为O(VN)，空间复杂度将为O（V）

 

        观察伪代码可也发现，F[i][j]只与F[i-1][j]和F[i-1][j-C[i]]有关，即只和i-1时刻状态有关，所以我们只需要用一维数组F[]来保存i-1时的状态F[]。假设i-1时刻的F[]为{a₀，a₁，a₂，…，a_v}，难么i时刻的F[]中第k个应该为max(a_k,a_k-C[i]+W[i])即max(F[k],F[k-C[i]]+W[i])，这就需要我们遍历V时逆序遍历，这样才能保证求i时刻F[k]时F[k-C[i]]是i-1时刻的值。如果正序遍历则当求F[k]时其前面的F[0],F[1]，…，F[K-1]都已经改变过，里面存的都不是i-1时刻的值，这样求F[k]时利用F[K-C[i]]必定是错的值。最后F[V]即为最大价值。

求F[j]的状态方程如下：

                                           (1-2)

伪代码如下：

F[] ← {0}

for i ← 1 to N

    do for k ← V to C[i]

        F[k] ← max(F[k],F[k-C[i]]+W[i])

return F[V]

同样，怎么求路径？

        利用前面讲到的Path[][]标记，需空间消耗O(NV)。这里不能用F [j]==F [j-C[i]]+W[i]来判断是因为一维数组并不能提供足够的信息来寻找二维路径。

        加入路径信息的伪代码如下：

F[] ← {0}

Path[][]←0

for i←1 to N

    do for k←V to C[i]

       if(F[k] < F[k-C[i]]+W[i])

            then F[k] ← F[k-C[i]]+W[i]

                 Path[i][k] ← 1

return F[V] and Path[][]

打印路径的伪代码和前面未压缩空间复杂度时的伪代码一样，这里不再重写

这里给出第二种思路 

时间复杂度O(VN)，不考虑路径空间复杂度为O(V)，考虑路径空间复杂度为O(VN)

#include<iostream>
using namespace std;
#define Size 1111

int dp[Size];
int Path[Size][Size];
int Max(int x,int y)
{
    return x>y?x:y;
}
int Package01_Compress(int Weight[], int Value[], int goodsN, int maxWeight){
	int i,j;
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    memset(Path,0,sizeof(Path));
		for(i=1;i<=goodsN;i++)
			for(j=maxWeight;j>=Weight[i];j--){	
            /* -----只求最大值----- */	
			/*	dp[j]=Max(   dp[j] ,  dp[j-Weight[i]]  +Value[i]  );*/
			/*------求最大值和路径------*/ 
            if(dp[j] < dp[j-Weight[i]]+Value[i])  
            {  
                dp[j] = dp[j-Weight[i]]+Value[i];  
                Path[i][j] = 1;  
            }  
			/*--------------------------*/ 
			}
	return dp[maxWeight];		
    }
int main()
{
    int va[Size],vm[Size];
    
    int t,n,m;
    int i;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        cin>>n>>m; //n为个数,m为最大载重量
        for(i=1;i<=n;i++)
            cin>>va[i];
        for(i=1;i<=n;i++)
			cin>>vm[i];
		int myWhats=Package01_Compress(vm,va, n, m);
			printf("%d
",myWhats);
		printf("-----取的重量如下(不超过%d):
",m);
        int i2 = n, j2 = m;  
        while(i2 > 0 && j2 > 0)  
        {  
        if(Path[i2][j2] == 1)  
        {  
            cout << vm[i2] << " ";  
            j2 -= vm[i2];  
        }  
  
        i2--;  
        }  
    cout << endl;  	
	}
	return 0;
}

本文部分内容参考“背包九讲”
和这里

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