离散数学中群,环,域的概念

一.群的定义

说起群，首先要引出一个更大的概念——代数系统，其中在概念上来看，代数系统>广群>半群独异点>群。

代数系统：一个非空集合A,连同若干个定义在该集合上的运算f1,f2,...fn所组成的系统，称为一个代数系统。简称代数。记作<A,f1,f2,...fn>

二元运算：设S为集合，函数f:S×S→S称为S上的二元运算，简称二元运算,如果运算结果也在集合S中，也成S对f封闭。

一元运算：设S为集合，函数f:S→S称为S上的一元运算，简称一元运算。

函数：又称映射，特殊的关系。（特殊在，定义域中相同元素不能同时存在多个值域）

设【<G,*>】是一个代数系统，其中G是一个集合，*是一个任意的二元运算符：

• 若满足*运算在G中封闭（对于所有G中a和b，运算a.b的结果也在G中），则代数系统【<G,*>】是广群。

即：　满足以下公理的集合G称为广群：（注：*为广义运算）
　　　 ①在运算*下是封闭的；

• 在广群的基础上，如果【<G,*>】符合以下性质，则是半群：

　　　　结合律：对于所有G中的a和b和c，等式(a.b)·c=a·(b·c)成立。

即：
    ①在运算*下是封闭的；
    ②对于G中的任意的元，都满足结合律。

• 在半群的基础上，如果【<G,*>】符合以下性质，则是独异点（幺半群）：

　　　　存在单位元（幺元）：存在G中的一个元素e，使得对于所有G中的元素a，总有等式e·a=a·e=a成立(类似于乘法中的1和加法中的0)。

即：
    ①在运算*下是封闭的；
    ②对于G中的任意的元，都满足结合律；
    ③存在幺元（单位元），且唯一。

• 在独异点的基础上，如果【<G,*>】符合以下性质，则是群。

　　　　存在逆元：对于每个G中的元素a，存在G中的一个元素b使得总有a·b=b·a=e，此处e为单位元（类似乘法中的6和1/6，加法中的6和-6）。

即： 满足以下公理的集合G称为群：（注：*为广义运算）
    ①在运算*下是封闭的；
    ②对于G中的任意的元，都满足结合律；
    ③存在幺元（单位元），且唯一；
    ④对于G中的任意的元，都有与其对应的逆元，且唯一。

1. 群的性质 (群满足消去律)
   ①当一个群G中只含有有限元素，那么这些元素的个数记为群G的阶，记作|G|。
   ②一个群G中的任何子群在相同的运算下如果也是群，则称之为群G的一个子群。
   ③如果存在一个最小正整数k，满足g^k=e，则称k为群G中元素g的阶。
   ④有限群中任意元素β的阶可整除该群的阶。
   ⑤相较于无限群，有限群因为其易在计算机中实现，故其在密码学中的作用更大。
2. 群的例子
   整数群：
   ①对于任何两个整数a和b，它们的和也是整数。满足条件①，关于运算+是闭集；
   ②对于任何整数a，存在0 + a = a + 0 = a，满足条件②存在幺元；
   ③对于任何整数a，存在另一个整数b使得a + b = b + a = 0，则整数b叫做整数a的逆元，记为a-1，满足条件③；
   ④对于任何整数a，b和c，存在(a + b) + c=a + (b + c)。满足条件④，关于运算+满足结合律。

几种常见的群

　　1.交换群（阿贝尔群） （在半群的基础上满足交换律）

　　2.循环群 { 0°，90°，180°，270°} ，90°是它的生成元，生成元的4次阶，又回到了0°，不断循环下去。

　　3.对称群

　　4.置换群

 其他的概念

　　有限群，无线群

　　群的阶：群中元素个数，也叫群基数 |G|

　　群元素的阶：也叫周期，群G中的元素x,使得x^k=e成立，并且k是最小的正整数。记作|x|=k,若不存在为无限阶元（最小幂运算等于幺元）

　　子群与真子群：H是群G的非空子集，并且H关于G中的运算构成群，H是G的子群。

　　平凡子群：群G的全集和{e},叫做群G的平凡子群

　　群中心：把群G中满足交换律的元素拿出来组成的子群C,称为G的中心。

　　循环群：群G在一个元素a,使得a^k等于G中所有的元素（k∈Z），a为生成元。

二.环

1. 环的定义
   满足以下公理的集合R称为环：
   ⑴对于加法的代数系统+：（环在加法下是一个阿贝尔群）
   ①在运算+下是封闭的；
   ②存在幺元（单位元），且唯一；
   ③对于R中的任意的元，都有与其对应的逆元，且唯一；
   ④对于R中的任意的元，都满足结合律；
   ⑤对于R中的任意的元，都满足交换律。
   ⑵对于乘法的代数系统×：（环在乘法下是一个半群）
   ①在运算×下是封闭的；
   ②对于R中的任意的元，都满足结合律；
   ⑶关于运算+和×：
   对于R中的任意的元，都满足分配律。
2. 环的性质
   ①若环中的乘法运算满足交换律，即ab=ba，这样的环称为交换环。
   ②若环中的乘法运算拥有幺元，这样的环称之为含幺环。
3. 环的例子
   整数环：
   整数集Z对于运算+是一个阿贝尔群；
   对于运算×是一个半群；
   所以集合Z是一个环（整数环）

二.域

1. 域的定义
   满足以下公理的集合F称为域：
   ⑴对于加法的代数系统+：（域在加法下是一个阿贝尔群）
   ①在运算+下是封闭的；
   ②存在幺元（单位元），且唯一；
   ③对于F中的任意的元，都有与其对应的逆元，且唯一；
   ④对于F中的任意的元，都满足结合律；
   ⑤对于F中的任意的元，都满足交换律。
   ⑵对于乘法的代数系统×：（域（0元素除外）在乘法下是一个阿贝尔群）
   ①在运算+下是封闭的；
   ②存在幺元（单位元），且唯一；
   ③对于F中的任意的元（除0元素），都有与其对应的逆元，且唯一；
   ④对于F中的任意的元，都满足结合律；
   ⑤对于F中的任意的元，都满足交换律。
   ⑶关于运算+和×：
   对于F中的任意的元，都满足分配律。
2. 域的性质
   ①域的一个子集如果在继承的加法和乘法运算下本身也是一个域，就称为域。例如，实数域便是复数域的一个子域。
   ②含有有限个元素的域称为有限域Fq或伽罗华域GF(q)，其中q为该有限域的元素个数。
   ③含有2m个元素的有限域称为二进制域。
   ④含有p（p为奇素数）个元素的有限域称为二进制域。
   ⑤含有pm（p为素数）个元素的有限域称为特征值为p的域。在特征值为p的有限域中，表达式( a + b ) p m = a p m + b p m (a+b)^{p^m} =a^{p^m}+b^{p^m}(a+b)pm=apm+bpm恒成立。
3. 域的例子
   有限域：
   举例来说，如10以内的非负整数，就是一个有限域。
   一般描述有限域，通过对整数取模（mod）的余数来表示，比如所有整数模5的结果，就是一个有限域（只包含0~4），这是5这个素数的1次方。

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