前面的文章中，我们已经讲述了PID控制器的实现，包括位置型PID控制器和增量型PID控制器。但这个实现只是最基本的实现，并没有考虑任何的干扰情况。在本节及后续的一些章节，我们就来讨论一下经典PID控制器的优化与改进。这一节我们首先来讨论针对积分项的积分分离优化算法。
1、基本思想
我们已经讲述了PID控制引入积分主要是为了消除静差，提高控制精度。但在过程的启动、结束或大幅度增减设定值时，短时间内系统输出有很大偏差，会造成PID运算的积分累积，引起超调或者振荡。为了解决这一干扰，人们引入了积分分离的思想。其思路是偏差值较大时，取消积分作用，以免于超调量增大；而偏差值较小时，引入积分作用，以便消除静差，提高控制精度。
具体的实现步骤是：根据实际情况，设定一个阈值；当偏差大于阈值时，消除积分仅用PD控制；当偏差小于等于阈值时，引入积分采用PID控制。则控制算法可表示为：
其中β称为积分开关系数，其取值范围为：
由上述表述及公式我们可以知道，积分分离算法的效果其实与ε值的选取有莫大关系，所以ε值的选取实际上是实现的难点，ε值过大则达不到积分分离的效果，而ε值过小则难以进入积分区，ε值的选取存在很大的主观因素。
对于经典的增量式PID算法，似乎没有办法由以上的公式推导而来，因为β随着err(k)的变化在不是修改着控制器的表达式。其实我们可以换一种角度考虑，每次系统调节未定后，偏差应该为零，然后只有当设定值改变时，系统才会响应而开始调节。设定值的改变实际上是一个阶跃变化，此时的控制输出记为U0，开始调节时，其调节增量其实与之前的一切没有关系。所以我们就可以以变化时刻开始为起点，而得到带积分分离的增量算法，以保证在启动、停止和快速变化时防止超调。公式如下：
其中β的取值与位置型PID算法一致。可能有人会担心偏差来回变化，造成积分作用的频繁分离和引入，进而使上述的增量表达式无法实现。其实我们分析一下就能发现，在开始时，由于设定值变化引起的偏差大而分离了积分作用，在接近设定值时，偏差变小就引入了积分，一边消除静差，而后处于稳态，直到下一次变化。
2、算法实现
这一部分，我们根据前面对其基本思想的描述，来实现基于积分分离的PID算法实现，同样是包括位置型和增量型两种实现方式。首先我们来看一下算法的实现过程，具体的流程图如下：
有上图我们知道，与普通的PID算法的区别，只是判断偏差的大小，偏差大时，为PD算法，偏差小时为PID算法。于是我们需要一个偏差检测与积分项分离系数β的函数。
1 static uint16_t BetaGeneration(float error,float epsilon) 2 3 { 4 5 uint16_t beta=0; 6 7 if(abs(error)<= epsilon) 8 9 { 10 11 beta=1; 12 13 } 14 15 return beta; 16 17 }
（1）位置型PID算法实现
根据前面的分析我们可以很轻松的编写程序，只需要在编写程序时判断偏差以确定是否引入积分项就可以了。同样先定义PID对象的结构体：
1 /*定义结构体和公用体*/ 2 3 typedef struct 4 5 { 6 7 float setpoint; //设定值 8 9 float proportiongain; //比例系数 10 11 float integralgain; //积分系数 12 13 float derivativegain; //微分系数 14 15 float lasterror; //前一拍偏差 16 17 float result; //输出值 18 19 float integral;//积分值 20 21 float epsilon; //偏差检测阈值 22 23 }PID;
接下来实现PID控制器：
1 void PIDRegulation(PID *vPID, float processValue) 2 3 { 4 5 float thisError; 6 7 thisError=vPID->setpoint-processValue; 8 9 vPID->integral+=thisError; 10 11 uint16_t beta= BetaGeneration(error, vPID->epsilon); 12 13 if(beta>0) 14 15 { 16 17 vPID->result=vPID->proportiongain*thisError+vPID->derivativegain*(thisError-vPID->lasterror); 18 19 } 20 21 else 22 23 { 24 25 vPID->result=vPID->proportiongain*thisError+vPID->integralgain*vPID->integral+vPID->derivativegain*(thisError-vPID->lasterror); 26 27 } 28 29 30 31 vPID->lasterror=thisError; 32 33 }
与普通的PID算法的区别就是上述代码中增加了偏差判断，来决定积分项的分离与否。
（2）增量型PID算法实现
对于增量型PID控制，我们也可以采取相同的处理。首先定义PID对象的结构体：
1 /*定义结构体和公用体*/ 2 3 typedef struct 4 5 { 6 7 float setpoint; //设定值 8 9 float proportiongain; //比例系数 10 11 float integralgain; //积分系数 12 13 float derivativegain; //微分系数 14 15 float lasterror; //前一拍偏差 16 17 float preerror; //前两拍偏差 18 19 float deadband; //死区 20 21 float result; //输出值 22 23 float epsilon; //偏差检测阈值 24 25 }PID;
接下来实现PID控制器：
1 void PIDRegulation(PID *vPID, float processValue) 2 3 { 4 5 float thisError; 6 7 float increment; 8 9 float pError,dError,iError; 10 11 12 13 thisError=vPID->setpoint-processValue; //得到偏差值 14 15 pError=thisError-vPID->lasterror; 16 17 iError=thisError; 18 19 dError=thisError-2*(vPID->lasterror)+vPID->preerror; 20 21 uint16_t beta= BetaGeneration(error, vPID->epsilon); 22 23 if(beta>0) 24 25 { 26 27 increment=vPID->proportiongain*pError+vPID->derivativegain*dError; //增量计算 28 29 } 30 31 else 32 33 { 34 35 increment=vPID->proportiongain*pError+vPID->integralgain*iError+vPID->derivativegain*dError; //增量计算 36 37 } 38 39 vPID->preerror=vPID->lasterror; //存放偏差用于下次运算 40 41 vPID->lasterror=thisError; 42 43 vPID->result+=increment; 44 45 }
这就实现了增量型PID控制器积分分离算法，也没有考虑任何的干扰条件，仅仅只是对数学公式的计算机语言化。
3、总结
积分分离算法的思想非常简单。当然，对于β的取值，很多人提出了改进措施，例如分多段取值，设定多个阈值ε1、ε2、ε3、ε4等，不过这些阈值也需要根据实际的系统来设定。除了分段取值外，甚至也有采用函数关系来获取β值。当然，这样处理后就不再是简单的积分分离了，特别是在增量型算法中，实际上已经演变为一种变积分算法了。已经偏离了积分分离算法的设计思想，在后面我们会进一步说明。
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