洛谷$1613$ 跑路

(Des)

给定一个有向图,起点为(1),终点为(n),所有边的长度都为(1).现在要从起点走到终点,每次走(2^k)的代价是(1).(这个(k)是任意的,但(2^k)不能超过(longint)范围).求最小代价.

(Sol)

最开始的想法:把距离为(2^k)的两个点连边,然后$ Dijkstra (跑最短路.要处理出倍增数组)f[i][k](表示从)i$出发走(2^k)步到的点.发现,其实这样的点是不确定的,因为有环.

虽然并不能确定一个点走(2^k)步能到达的点,但是可以通过(Floyed)确定两个点(i,j)能不能走(2^k)到达.感觉这里有点像一个传递闭包.

(f[k][i][j])表示(i)走(2^k)步能不能到达(j).

(f[k][i][j]|=f[k-1][i][p]&f[k-1][p][j]).

这样就可以确定连边情况.然而(n)这么小,直接矩阵存下来跑(Floyed)就好了,何必写链式前向星再跑(Dijkstra)呢.

(Code)

#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define Ri register int
#define go(i,a,b) for(Ri i=a;i<=b;++i)
#define yes(i,a,b) for(Ri i=a;i>=b;--i)
#define e(i,u) for(Ri i=b[u];i;i=a[i].nt)
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define ll long long
#define db double
#define inf 2147483647
using namespace std;
il int read()
{
    Ri x=0,y=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')y=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';c=getchar();}
    return x*y;
}
const int N=60;
int n,m;ll f[70][N][N],a[N][N];
int main()
{
    n=read(),m=read();
    go(i,1,n)go(j,1,n)a[i][j]=inf;
    go(i,1,m)
    {
	Ri u=read(),v=read();
	f[0][u][v]=1;a[u][v]=1;
    }
    go(k,1,64)
	go(p,1,n)
	go(i,1,n)
	go(j,1,n)
        {
	    f[k][i][j]|=f[k-1][i][p]&f[k-1][p][j];
	    if(f[k][i][j])a[i][j]=1;
	}
    go(i,1,n)a[i][i]=0;
    go(p,1,n)
	go(i,1,n)
	go(j,1,n)
	a[i][j]=min(a[i][j],a[i][p]+a[p][j]);
    printf("%lld
",a[1][n]);
    return 0;
}