$POJ3666 Making the Grade$

洛谷

$Description$

农夫约翰想改造一条路，原来的路的每一段海拔是$Ai$，修理后是$Bi$，花费$|Ai – Bi|$。我们要求修好的路是单调不升或者单调不降的。求最小花费。

$Solution$

首先只讨论数列不降的情况

结论：$B$中的数一定都是$A$中的数

这里可以用数学归纳法证明

证明： 若n=1,显然b[1]=a[1]时最优

假设n-1时结论成立，那么n时：

当a[n]>=b[n-1]时，显然令b[n]=a[n]最优

当a[n]<b[n-1]时，由于数列不降，令b[n]=b[n-1]最优

　　这时产生的贡献是b[n-1]-a[n],假设b[n]>b[n-1],则产生贡献更大，没有b[n]=b[n-1]优

最后由数学归纳法可知，原命题成立

有这个结论就好做多啦

另设一个数组$C$表示数组$A$从小到大排序并且离散化后的序列

$f[i][j]$表示将$A1...Ai$变成$B1..Bj$这些数的最小代价

转移：

$f[i][j]=min(f[i-1][1...j])+abs(Ai-Bj)$

这里的$min(f[i-1][1...j])$也是在循环中记录更新即可

数列不升的情况：只要把$B$数组重新排列一下，也就是从大到小排列然后再做一遍上面的转移就可以啦

$Code$

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define Rg register
#define il inline
#define db double
#define ll long long
#define go(i,a,b) for(Rg int i=a;i<=b;i++)
#define yes(i,a,b) for(Rg int i=a;i>=b;i--)
#define inf 1e40
using namespace std;
il int read()
{
    int x=0,y=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')y=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0';c=getchar();}
    return x*y;
}
const int N=2001;
int m,n,a[N],b[N],c[N];
ll f[N][N],ans=inf;
il bool cmp(int x,int y){return x>y;}
il void sol()
{
    go(i,1,n)f[1][i]=abs(b[i]-a[1]);
    go(i,2,n)
    {
        ll t=inf;
        go(j,1,m)
        {
            t=min(t,f[i-1][j]);
            f[i][j]=t+abs(a[i]-b[j]);
        }
    }
    go(j,1,m)if(f[n][j]<ans)ans=f[n][j];
}
int main()
{
    n=read();go(i,1,n)a[i]=c[i]=read();
    sort(c+1,c+n+1);
    go(i,1,n)if(c[i]!=b[m]||i==1)b[++m]=c[i];
    sol();
    sort(b+1,b+m+1,cmp);sol();
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}