UVa 10213 How Many Pieces of Land? (组合数学 & 图论)

题目

题目大意

有一块椭圆形的地。在边界上选(n)((0 ≤ n < 2^{31}))个点并两两连接得到(frac{n(n - 1)}{2})条线段

题解

关于这个问题还有维基百科: Dividing a circle into areas

再推荐一个讲解视频: 【官方中配】分圆问题，诡异的数列规律：解答篇

在这道题里, 椭圆和圆没什么区别, 不要在这上面纠结。

首先我们考虑两件事情:

1. 圆里有多少条直线;
2. 圆里的直线有多少个交点。

对于第一个问题, 题目上已经告诉了是(frac{n(n - 1)}{2}), 但我还是想说一下怎么算的:

给圆上的点编号, 可以将每一条直线用一个二元组((a, b))表示。首先考虑(a)， 有(n)种选择, 这时(b)还剩下(n - 1)种选择, 根据乘法原理, 可以得到(n(n - 1))。又因为计算时会有重复(如((2, 6))和((6, 2))), 所以要再除以(2), 得到一共有(frac{n(n - 1)}{2})条直线, 也就是({n choose 2})条。

第二个问题, 为了让区域最多, 不能有两条以上直线交于一点的情况。也就是说每一个交点对应两条直线, 也就可以用这两条直线在圆上的(4)个点表示。根据乘法原理, 可以得到(n(n - 1)(n - 2)(n - 3))。同样的, (4)个数有(4!)种排列, 将其除以(4!), 得到有(frac{n(n - 1)(n - 2)(n - 3)}{1 × 2 × 3 × 4})个点, 也就是({n choose 4})个。

接下来我们用图论来解决它。

图中的结点总数为圆内的加上圆上的一共({n choose 4} + n)个; 易总结出已有的直线中每有一个交点就会增加两条线段, 不能理解可以画图看看, 则圆中边的总数为已有的(n choose 2)加上两倍交点数(2{n choose 4}), 再加上圆上(n)个点构成的(n)条边, 得到边的总数为({n choose 2} + 2{n choose 4} + n)。

根据欧拉示性数公式(V - E + F = 2)(即点的数量减去边的数量加上图中区域的数量等于(2)), 可以得到(F = {n choose 2} + 2{n choose 4} - {n choose 4} + 2 = {n choose 2} + {n choose 4} + 2), 再减去圆外的大区域得到答案为:

[{n choose 2} + {n choose 4} + 1 ]

也就是

[frac{n!}{(n-4)! 4!}+frac{n!}{(n-2)! 2!}+1 ]

化简得到

[frac{n^4 - 6n^3 + 23n^2 - 18n}{24} + 1 ]

因为数据范围过大, 需要高精度, 由于我比较懒不想写高精度(Python)自带高精度, 就用(Python3)写了这道题。

用(Python)写的时候要注意, 运算符/的返回值是浮点类型, 输出时即使是整数也会自动保留一位小数, 换成//整除就可以避免这个问题。

代码

T = int(input())
while T != 0:
  n = int(input())
  print(n * (n ** 3 - 6 * n ** 2 + 23 * n - 18) // 24 + 1)
  T -= 1