向量空间也叫线性空间，是第一次接触到的与抽象代数接轨的内容。它的引入从某种层面上说明了近几个世纪代数学发展的一种趋势：从研究“算术问题”和“计算问题”转换为研究一种抽象的结构。那到底什么是抽象的结构，又为什么要研究这些抽象的结构呢？从某种层面上，这反应了一种数学的发展，数学家们通过对某种具体的东西研究的过程当中发现，其实有很多很多的定理的证明，它们的方法是相同的，但是，由于所研究的对象不同，又必须写出不同的证明。举一个例子：
[{left( {a + b}
ight)^n} = sumlimits_{k = 0}^n {{
m{C}}_n^k{a^k}{b^{n -
k}}} ]
是二项式定理，在高中就已经接触过，也叫牛顿二项式定理。它的证明方式很多，可以利用组合意义，也可以利用数学归纳法。但是，后来我们又了解到了下面的Leibniz公式：
[{left( {fg}
ight)^{(n)}} = sumlimits_{k = 0}^n
{{
m{C}}_n^k{f^{(k)}}{g^{(n - k)}}} ]
这是$n$阶导数的计算公式，形式上和二项式定理非常相似，以致于只要我们接触过二项式定理，就算不知道Leibniz公式，在算几项之后，也可以自然地猜出这个公式。然而，我们只能说“易证”而不能说“已证”，因为他与二项式定理研究的是两个完全不同的对象，我们显然不能由二项式定理得到它的证明。当然，好戏不止这些，在吉米多维奇习题集上，还有这样的一道题：
设$a^{[n]}=a(a-h)cdots(a-(n-1)h)$及$a^{[0]}=1$证明:
[(a+b)^{[n]}=sum_{m=0}^{n}mathrm{C}_{n}^{m}a^{[n-m]}b^{[m]}]
这道题也和二项式定理一模一样，也可以算作是二项式定理的一个推广(取$h = 0$)，但是，很遗憾，它的证明也不能由二项式定理直接推出。还有这样的一道线性代数题
给定$n$阶矩阵$A$,对一个$n$阶矩阵$B$,记$f_A(B) = AB - BA$,证明：若$A$是上三角矩阵，且$f_A$是幂零函数，则$A$所有对角元相等
这道题我们需要求出$f^n_A$的表达式，也是二项式定理的形式，但是由于这里研究的对象是矩阵，而不是数，我们仍然不能由二项式定理推出这个命题，而只能由归纳法得到它的表达式，或者说“由归纳法易得”。
这可真是一个麻烦的问题！由于研究的对象不同，我们需要做一遍又一遍重复枯燥的证明，这显然是数学家们不能容忍的事情。但是，数学家们由此想到了一种办法：它们干脆不对具体的问题进行研究了，而是把这些具体的东西所具有的一些公共的性质提取出来，而再假设某个集合和它们之间的运算具有这些公共的性质，那么就可以推出这个集合具有的很多性质，再倒推回来，由于某个东西满足这些性质，自然它们就要满足已经推出的性质。满足这些性质的集合很多很多，但就算它们研究的是不同的对象，但是，我们直接从已经推出的这个集合上的性质直接得到它们所满足的性质，这就给出了一种统一的证明。
由于这个集合是数学家们从某些具体的东西里面提取出来的，但集合本身不是一种具体的事物，因此“抽象”二字由此产生，又因为我们给这个集合强加了一些性质，这些性质可以说成是这个集合的一种“结构”。因此，抽象结构就应运而生了。比如，后面将会提到，上述的几个“二项式定理”中的实数，函数，矩阵和对应的乘法，求导，$a^{[n]},f_A(B)$的运算所产生的结构都可以看成交换环，这里的交换环就是一种抽象结构，而二项式定理就是交换环上的一个性质，那自然地，我们就给出了一种统一的证明。
综上，一个“抽象结构”其实就是一个集合和一些运算和性质。有了这样的思想之后，我们再来研究线性代数里面提到的第一个抽象结构：向量空间。
在此之前，我们需要了解什么叫做域
定义1 一个非空集合$F$叫做一个域(field)，如果在它上面定义了两种二元运算：加法$+$和乘法$cdot$，并满足以下几个性质
(1) $a + b = b + a ,a cdot b = b cdot a$(交换律)
(2) $(a + b) + c = a + (b + c),(a cdot b)cdot c = a cdot ( b cdot c)$ (结合律)
(3) $ (a + b) cdot c = a cdot c + b cdot c$ (乘法对加法的分配律)
(4)存在一个$0$，使得对于$ a + 0 = a$对任意$a in F$成立，存在一个$1 e 0$，使得$1 cdot b = b$对任意$b in F$成立.
(5)对任意$a in F$,存在一个$-a in F$,使得$a + (-a) = 0$,对任意的$b e 0 in F$ 存在一个$b^{-1} in F$,使得$b cdot b^{-1} = 1$
这里的域就是一种抽象结构，而数学家们从实数的加法运算和乘法运算总结出了上面的五条性质，正如前面所说，有了它之后我们就可以在这个集合上研究很多性质，然后再把它应用到具体的对象当中。但是，这五条性质确实使人眼花缭乱，不知为什么总结这样五条性质，其实没有关系，现在可以暂时就把域理解成实数集或者有理数集，有些时候也考虑复数集。后面引入了其他概念之后，域的定义水到渠成就可以得到。强调两点：定义中的运算二字，严格来说是$F imes F$ 到$F$的一个映射。比如，以实数加法为例。“$2+3 = 5 $”如果用集合的语言表述就是说加法这个运算把有序数对$(2,3)$映到了5.用函数的眼光来表述，其实也就是$f(2,3) = 5$当然$f(3,2)$ 也等于5.而二元运算自然就是指两个元素就可以通过这种运算得到一个新的元素，即这个映射下的像。另外，这里的加法和乘法，包括$1$ 和$0$ 都不是真正的加法和乘法和真正的1 和0. 只是，由于域这种结构是数学家们从实数中抽象出来的，所以用这些名称来代表这些运算。严格来说，这里出现了符号混用略显不严密，但是，这样做是非常方便的，而也不容易与真正的加法，乘法产生混淆。
有时为了我们的方便与习惯，乘号$cdot$也经常忽略不写
有了域之后，我们就可以引入向量空间了。向量空间，顾名思义，是数学家们从平面向量当中抽象出的一种概念(但也没有用到平面向量中的所有性质，比如内积就没有引入)，他们发现引入了向量空间之后可以解决很多的问题。
向量空间的定义有一个前提：先给定了一个域$F$。比如，先给定了实数域.自然，域上的运算也给定了。有了$F$ 之后再来研究线性空间。
定义2 给定一个域$F$,一个非空集合$V$叫做$F$上的一个向量空间(vector space)也叫线性空间，如果定义了两种运算：向量加法$+$和纯量乘法(乘号通常省略不写)，其中加法是$V imes V$到$V$的一个映射，纯量乘法是$F imes V$到$V$的一个映射，并满足以下几个性质
(1) $alpha + eta = eta + alpha $对任意$alpha,eta in V$成立(交换律)
(2) $(alpha + eta) + gamma = alpha + (eta + gamma)$ 对任意的$alpha,eta,gamma in V$成立 (结合律)
(3)存在一个$0 in V$,我们可以把它称作零向量满足 $ alpha + 0 = alpha $对任意$alpha in V$成立
(4)对任意的$alpha in V$，存在一个$-alpha in V$,满足$alpha + (-alpha) = 0$
(5)对任意的$alpha in V,a,b in F$,有$(a+b)alpha = a alpha + b alpha$
(6)对任意的$alpha,eta in V,a in F$有$a(alpha + eta) = aalpha + a eta$
(7)对任意的$a,b in F,alpha in V$有$a(b alpha) = (a b)(alpha)$
(8)$1 alpha = alpha$
上面的定义在任何一本线性代数书上都有(怎么记？后面将会提到这根本不用记就能记住)，并由此可以推出很多的性质。此处不再多提，而满足上面性质的集合$V$ 中的元素，我们就习惯性地称作“向量”,由此可以看出定义都是按照平时的习惯，比如用希腊字母代表“向量”.而纯量乘法等名称也是从平面向量中借鉴而来。
在我们说明一个集合构成一个向量空间时，我们一定需要指出域是什么，向量加法是怎么定义的，纯量乘法是怎么定义的，否则，一切只是空中楼阁。比如，我们不能说全部欧式平面上的向量构成一个线性空间，而应该说全体欧式平面上的向量对于普通定义的加法和纯量乘法构成一个向量空间。类似地，我们说一个东西是一个域的时候，也要指出这个域中的加法怎么定义，乘法怎么定义，哪怕它按照我们认为的理所当然的常规进行定义。
在上面所提到的两个抽象结构当中，域和向量空间是有很多不同之处的，最重要的一点在于：域只是一个集合$F$和两种运算的事情，而向量空间是两个集合$V$和$F$和两种运算的事情，当然，前提是给定了$F$即$F$内的两种运算。
下面举几个不是真正的“向量”的向量空间的例子
例1 定义$mathbb{R}^n $为所有形如$(a_1,a_2,cdots,a_n)$的$n$元数组构成的集合，其中$a_1,cdots,a_n in mathbb{R}$，并定义$(a_1,cdots,a_n)+(b_1,cdots,b_n)
= (a_1+b_1,cdots,a_n + b_n ),k(a_1,cdots,a_n) = (ka_1,cdots,ka_n)$。其中所有的数均为实数，于是这样的$mathbb{R}^{n}$对于所定义的加法和纯量乘法是一个域$mathbb{R}$上的向量空间.
其实可以看出，这个定义是由平面向量的坐标表示推广到$n$元情形的例子，十分自然.
当然，也有不自然的例子：
例2 给定正整数$n$，考虑所有次数不超过$n$次的实系数多项式构成的集合$K$,多项式的加法和纯量乘法按照普通的定义，于是容易验证满足上述8条性质，$A$对于所定义的加法和纯量乘法构成一个实数域$mathbb{R}$上的向量空间。
于是，这里我们将每个多项式看成了一个向量，把多项式的集合看成了一个向量空间，显得突兀，但确实满足8条性质。我们还有
例3 $mathbb{R}$对于普通的实数加法和实数乘法可以看成$mathbb{R}$上的一个线性空间
实数域看成了它自己上的一个向量空间！但确实，它也满足8条性质，也就是说，这里我们把每个实数看成了一个向量，并且纯量乘法原本是实数乘向量，但其实也就是实数乘实数。由此，我们也看到，不是说一个具体的东西只能看成一种抽象结构。比如$mathbb{R}$对于实数的加法和乘法看成一个域，而也可看成是一个向量空间。
当然，上面的加法和乘法都显得十分常规，我们还可以让它不那么常规，比如
例4 给定实数域$mathbb{R}$(这个域中的加法和乘法也按常规方式定义)，但是，我们考虑正实数集$mathbb{R}_+$，将它看成实数域$mathbb{R}$ 上的线性空间，只不过我们将向量加法和纯量乘法定义为$a+b = acdot b,ab = a^b$。其中，等号右边都按照我们的常规定义。
这样，我们将$mathbb{R}^+$看成了$mathbb{R}$上的向量空间，但是加法和纯量乘法的定义不那么普通了。
当然，几何对象也可以构成向量空间，而对于向量空间我们有线性相关，线性无关，基，维数，线性映射，线性映射的核与像等概念，但这些概念偏离了主题，具体内容可以参考线性代数教材，此处略过不提.
练习题
1. 验证例中的对象对于所定义的运算确实构成向量空间
2. 设$F$是一个域，对于正整数$n$，我们定义$n$个$a$的乘法为$a^n$(这样定义显然是良定的)，证明：
[{left( {a + b}
ight)^n} = sumlimits_{k = 0}^n {{
m{C}}_n^k{a^k}{b^{n -
k}}} ]
3. 证明：线性空间的性质8不能由前7条推出