更新：25 APR 2016
Laplace变换
设函数(f(t))在(t>0)时有定义，积分
(F(s)=int_0^{+infty}f(t)e^{-st}dt qquad (sin mathbb{C}))
若在s的某一域内收敛，则称此映射为Laplace变换，记为
(F(s)=mathscr{L}[f(t)],qquad f(t)=mathscr{L}^{-1}[F(s)])
实际上，(f(t))的Laplace变换就是(f(t)u(t)e^{-eta t} (eta>0))取Fourier变换。
Laplace变换性质
1. 线性
2. 微分性
(mathscr{L}[f’(t)]=smathscr{L}[f(t)]-f(0))
(mathscr{L}[f^{(n)}(t)]=s^nmathscr{L}[f(t)]-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f’(0)-cdots-f^{(n-1)}(0))
3. 积分性
(mathscr{L}left[int_0^tf(t)dt ight]=dfrac{1}{s}mathscr{L}[f(t)])
4. 位移性质
5. 延迟性质
6. 相似性质
7. 初值定理
8. 终值定理
Laplace逆变换
利用Fourier变换可以得出
(f(t)=dfrac{1}{2pimathrm{i}}int_{eta-mathrm{i}omega}^{eta+mathrm{i}omega}F(s)e^{st}ds, t>0)
积分成为Laplace反演积分。求此反演积分可以使用留数来计算：
若(s_1, s_2, …, s_n)是函数(F(s))的所有奇点，且当(s ightarrow infty)时(F(s) ightarrow 0)，则
(f(t)=dfrac{1}{2pi mathrm{i}}int_{eta-mathrm{i}omega}^{eta+mathrm{i}omega}F(s)e^{st}ds=sumlimits_{k=1}^{n}underset{s=s_k}{operatorname{Res}}[F(s)e^{st}])
求Laplace变换的方法-留数