数理方程：线性非齐次方程在齐次边界条件下的解法

更新：28 MAR 2016

以波动方程为例

(dfrac{partial^2u}{partial t^2}=a^2dfrac{partial^2 u}{partial x^2}+f(x,t),qquad 0<x<l,quad t>0)

边界条件：齐次

(u|_{x=0}=u|_{x=l}=0,qquad t>0)

初始条件：任意（最后用到Fourier变换）

(u|_{t=0}=varphi(x), left.dfrac{partial u}{partial t} ight|_{t=0}=psi(x),qquad 0 leqslant x leqslant l)

解法：分解待求函数(u(x,t))。设

(u(x,t)=v(x,t)+w(x,t))

将方程非齐次项归结到(v(x,t))，将初始条件归结到(w(x,t))，即

对于(v(x,t))

(dfrac{partial^2v}{partial t^2}=a^2dfrac{partial^2 v}{partial x^2}+f(x,t),qquad 0<x<l,quad t>0)

(v|_{x=0}=v|_{x=l}=0,qquad t>0)

(v|_{t=0}=0, left.dfrac{partial v}{partial t} ight|_{t=0}=0,qquad 0 leqslant x leqslant l)

对于(w(x,t))

(dfrac{partial^2w}{partial t^2}=a^2dfrac{partial^2 w}{partial x^2},qquad 0<x<l,quad t>0)

(w|_{x=0}=w|_{x=l}=0,qquad t>0)

(w|_{t=0}=varphi(x), left.dfrac{partial w}{partial t} ight|_{t=0}=psi(x),qquad 0 leqslant x leqslant l)

针对(w(x,t))，按照齐次方程的解法即可

针对(v(x,t))，利用常数变易法，将对应齐次方程解的常数系数变成对t的函数

(v(x,t)=sumlimits_{n=1}^{infty}v_n(t)sindfrac{npi}{l}x)

同时将自由项Fourier展开

(f(x,t)=sumlimits_{n=1}^{infty}f_n(t)sindfrac{npi}{l}x)

按照Fourier级数可以求得(f_n(t))

代入原方程，根据三角函数的正交性，对应项系数相等
一般地，可以解出

(v_n(t)=dfrac{l}{npi a}int_0^tf_n( au)sindfrac{npi a(t- au)}{l}d au)