更新：25 MAR 2016
一维弦振动方程
方程形式
(large dfrac{partial^2u}{partial t^2}=a^2dfrac{partial^2u}{partial x^2}quad ormalsize (0<x<l,quad t>0))
其中(a)为正实数。
分离变量
(u(x,t)=X(x)T(t))
(large dfrac{X’’}{X}=dfrac{T’’}{a^2T}=-lambda, quad ormalsize lambda=eta^2>0)
位移函数通解
(large X(x)=Acoseta x+Bsineta x)
(A, B, eta)由边界条件求出。
相位函数通解
(large T(t)=Ccoseta t+Dsineta t)
(C, D)由利用初始条件对(u(x,t))作Fourier展开求得。
齐次边界条件：两端固定
(large left. u ight|_{x=0}=left. u ight|_{x=l}=0)
此时由两个边界条件分别可以得到
(large A=0, B eq 0)
(large eta=dfrac{npi}{l})
一维热传导方程
方程形式
(large dfrac{partial u}{partial t}=a^2dfrac{partial^2u}{partial x^2}quad ormalsize (0<x<l,quad t>0))
其中(a)为正实数。
分离变量
(u(x,t)=X(x)T(t))
(large dfrac{X’’}{X}=dfrac{T’}{a^2T}=-lambda, quad ormalsize lambda=eta^2>0)
位移函数通解
(large X(x)=Acoseta x+Bsineta x)
(A, B, eta)由边界条件求出。
相位函数通解
(large T(t)=Ce^{-eta^2 a^2 t})
(C)由初始条件得到。
齐次边界条件：两端固定
(large left. u ight|_{x=0}=left. u ight|_{x=l}=0)
此时由两个边界条件分别可以得到
(large A=0, B eq 0)
(large eta=dfrac{npi}{l})
二维Laplace方程·方域
方程形式
(large dfrac{partial^2 u}{partial x^2}+dfrac{partial^2 u}{partial y^2}=0quad ormalsize (0<x<a,quad 0<y<b))
分离变量
(large u(x,y)=X(x)Y(y))
(large dfrac{X’’}{X}=-dfrac{Y’’}{Y}=lambda)
二维Laplace方程·圆域
方程形式
(large dfrac{1}{ ho}dfrac{partial}{partial ho}left( hodfrac{partial u}{partial ho} ight)+dfrac{1}{ ho^2}dfrac{partial^2 u}{partial heta^2}=0,quad ormalsize ho< ho_0,quad 0leqslant heta<2pi)
分离变量
(large u( ho, heta)=R( ho)Phi( heta))
(large dfrac{ ho^2 R’’+ ho R’}{R}=-dfrac{Phi’’}{Phi}=-lambda)
自然边界条件
(large |R(0)|<+infty)
(large Phi( heta+2pi)=Phi)( heta))
注意：第一条在非圆内情况下不适用；第二条在扇形域不适用
角度函数通解
当(lambda=0)
(large Phi_0( heta)=a_0’)
当(lambda=n^2>0, n=1,2,3,…)
(large Phi_n( heta)=a_n’cos n heta+b_n’sin n heta)
此时以及使用了边界的重复性，导致了特征值的分立
径向函数通解
当(lambda=0)
(large R_0( ho)=c_0+d_0ln ho)
当(lambda=n^2>0, n=1,2,3,…)
(large R_n( ho)=c_n ho^n+d_n ho^{-n})
再利用边界条件可以使所有(d_n=0)（注意若不是圆内，例如圆外或环内则不能如此确定)
(large R_n=c_n ho^n)
通解
(large u( ho, heta)=dfrac{a_0}{2}+sumlimits_{n=1}^{infty} ho^n(a_ncos n heta+b_nsin n heta))