Luogu P4174 [NOI2006]最大获利|网络流

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非常经典的网络流模型。

最大权闭合子图

我们将样例用图的形式表达

5 5
1 2 3 4 5
1 2 3
2 3 4
1 3 3
1 4 2
4 5 3

看起来无从下手。那么，我们将其转换为下面这幅图，容易看出，它们是等价的。并且，下图是个二分图。

接下来我们引入有向图的闭合子图的概念

定义一个有向图的闭合图（closure）(G=(V,E)​)是该有向图的一个点集，且该点集的所有出边都还指向该点集。即闭合图内的任意点的任意后继也一定在闭合图中。

根据定义，在本图中，如果选择了左边的一个点，那么与其相连的右边的两个点一定也要被选中。而我们要求的，就是最大权闭合子图，也就是说，所选的点权之和最大。

事实上，我们可以将其转化为最小割的模型去解决。我们将正权点连向源点(S)，边权为点权，负权点连向汇点(T)，边权为点权的绝对值，而原来的边的权值为(INF​)。如下图：

我们使用最小割，中间的不可割，左边割了就意味着放弃了第(i​)名用户的权益，右边割了就意味着建第(i​)个基站。最后，所有正权点的点权之和减去得到的最小割即为答案。

求最小割可以用“最大流=最小割”定理解决。

上代码

//1为源点，2~1+m为用户，2+m~n+m+1为第i个基站，n+m+2为汇点
#include<bits/stdc++.h>
#define inf 2147483647
#define T n+m+2
#define N 400000
using namespace std;
int cc,to[N],net[N],fr[N],len[N],fx[N],c[N],q[N];
bool vis[N];int n,m,a,u,v,l,sum;
void addedge(int u,int v,int l)
{
	cc++;
	to[cc]=v;net[cc]=fr[u];fr[u]=cc;len[cc]=l;fx[cc]=cc+1;
	cc++;
	to[cc]=u;net[cc]=fr[v];fr[v]=cc;len[cc]=0;fx[cc]=cc-1;
}//建边
bool bfs()
{
	int h=1,t=1;
	for (int i=1;i<=T;i++)
	  c[i]=0,vis[i]=false;
	q[1]=1;c[1]=1;vis[1]=true;
	while (h<=t)
	{
		for (int i=fr[q[h]];i;i=net[i])
		{
			if (vis[to[i]]||(!len[i])) continue;
			q[++t]=to[i];
			c[to[i]]=c[q[h]]+1;vis[to[i]]=true;
		}
		h++;
	}
	return vis[T];
}
int dfs(int x,int k)
{
	int ff=0;
	if (x==T) return k;
	for (int i=fr[x];i;i=net[i])
	{
		if (len[i]&&c[to[i]]==c[x]+1)
		{
			int y=min(k,len[i]);
			int re=dfs(to[i],y);
			len[i]-=re;
			len[fx[i]]+=re;
			ff+=re;k-=re;
		}
		if (k<=0) break;
	}
	return ff;
}
int dinic()
{
	int ans=0;
	while (bfs())
	{
	    ans+=dfs(1,inf);
	}
	return ans;
} //跑dinic
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m); 
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&a);
		addedge(m+1+i,T,a);
	}
	for (int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d%d",&u,&v,&l);
		sum+=l;
		addedge(1,1+i,l);
		addedge(1+i,1+m+u,inf);
		addedge(1+i,1+m+v,inf);
	}
	cout<<sum-dinic(); 
	return 0;
} 

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参考资料

[1] 胡伯涛 《最小割模型在信息学竞赛中的应用》2007

PS:有兴趣的dalao可以看一下此论文，除最大权闭合子图（和优化）外还有最大密度子图等。