二叉树

文章目录

• 满二叉树
• 定义
• 性质
• 完全二叉树
• 定义
• 性质

满二叉树

定义

除最后一层无任何子节点外，每一层上的所有结点都有两个子结点二叉树。
国内教程定义：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是**(2^k) -1** ，则它就是满二叉树。

从图形形态上看，满二叉树外观上是一个三角形。

从数学上看，满二叉树的各个层的结点数形成一个首项为1，公比为2的等比数列。

性质

因此由等比数列的公式，满二叉树满足如下性质。
1、一个层数为k 的满二叉树总结点数为：
$总节点数 = 2^{k}-1$

因此满二叉树的结点树一定是奇数个。
2、第i层上的结点数为：
$第i层的节点数 = 2^{i -1}$

3、一个层数为k的满二叉树的叶子结点个数（也就是最后一层）：
$叶子节点的个数 = 2^{k-1}$

完全二叉树

定义

若设二叉树的深度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第 h 层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树。
完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。

(1)所有的叶结点都出现在第k层或k - 1层（层次最大的两层）
(2)对任一结点，如果其右子树的最大层次为L，则其左子树的最大层次为L或L+l。
一棵二叉树至多只有最下面的两层上的结点的度数可以小于2，并且最下层上的结点都集中在该层最左边的若干位置上，则此二叉树成为完全二叉树，并且最下层上的结点都集中在该层最左边的若干位置上，而在最后一层上，右边的若干结点缺失的二叉树，则此二叉树成为完全二叉树。

性质

假设n0是度为0的结点总数（即叶子结点数），n1是度为1的结点总数，n2是度为2的结点总数，则 ：

①n= n0+n1+n2 （其中n为完全二叉树的结点总数）；

又因为一个度为2的结点会有2个子结点，一个度为1的结点会有1个子结点，除根结点外其他结点都有父结点，
②n= 1+n1+2n2 ；由①、②两式把n2消去得：n= 2n0+n1-1，由于完全二叉树中度为1的结点数只有两种可能0或1，由此得到n0=n/2 或 n0=(n+1)/2。
简便来算，就是 n0=n/2，其中n为奇数时（n1=0）向上取整；n为偶数时（n1=1）。可根据完全二叉树的结点总数计算出叶子结点数。