频谱，频谱密度

点拨：

（1）本节的重点不是怎么求傅里叶变换或者傅里叶级数，而是了解掌握 常见的信号 的傅里叶变换，所以 解题时用的方法都是常见的角度 公式 和技巧。

将时域转换成频域，为了便于分析。学习第一章 （确知信号）也是为了后面章节（第二章 随机过程）的学习做准备。

确知信号 有明确的时域表达式，随机过程没有明确的时域表达式，所以 可以将信号分为确知信号和随机信号 没有交叉的两大类。

（2）看到一个确知信号的时域表达式，需要先判断是功率信号还是能量信号吗？视情况而定。有的信号需要求它的能量，如果能出来，那就是能量信号；有的信号就是常见的信号，知道它的图像，就可以直接判断是什么类的信号了。但是，但大部分情况下的计算，不需要考虑它是什么信号，直接用傅氏变换的相关性质计算就可以了。所以，根据问题来思考需要考虑什么---再强调一遍！根据命题人的意图来做题！。

1.

欧拉公式：   cosx=(1/2 )[e^jx + e^(-jx)]     sinx= (1/2j) [e^jx - e^(-jx)]

抽样函数：   Sa(x)=sinx/x，lim_x=0 sinx/x=1

分部积分：  ∫^b_a  F₁ ^′(x)F₂(x)dx =  [F₁(x)F₂(x)]^b_a  -  _∫^ba F₁(x)F₂’(x) dx

换元积分：（dw时）2∏nf₀=w_{0 （dt时不用），} df=(1/2∏) dw

2.功率信号- 周期信号 - 频谱函数：F(w)~w

（1）频谱函数(f(t)的傅里叶级数的系数): F(f)=F(nf₀)=(1/T)∫_(-½T)^(½T)  f(t) e^{^}(-j2∏nf₀t) dt       (f=nf₀)

（2）周期信号(的傅里叶级数):              f(t)=Σ^∞-∞  F_n e^{^}(j2∏nf₀)

周期信号的频谱函数Fn是离散的，只有在f₀的整数倍上取值。

周期性方波：

          (1)周期性方波偶函数的频谱函数：Vζ/T Sa(n∏ζ/T)（偶函数图像），高V 宽ζ，频谱零点为 2∏/ζ , 4∏/ζ, 6∏/ζ...

          (2)周期性方波非偶：频谱函数是复数表达式。

非周期性的功率信号：可以看做T→∞，但是一般积分很难积出来。

3.能量信号- 非周期信号 -频谱密度函数：频率密度的谱 :能量信号f(t)↔频谱密度函数F(w)

                 非周期信号：冲激信号，门函数，直流信号

   (1)能量信号f(t)↔频谱密度函数F(w)

             f(t)的傅里叶变换是F(f)：   F(f)=^∫∞-∞  f(t) e^{^}(-j2∏ft) dt      (f=nf₀)-----------因为调频调的是f，所以记住重点关于f的公式形式，w的形式可很快的推导

             【F(f)的逆傅里叶变换是f(t)】:  f(t)= ^∫∞-∞  F(f) e^{^}(j2∏ft) df         

        即       

              【F(w)的逆傅里叶变换是f(t):】 （时域） f(t)=(1/2∏) ^∫∞-∞  F(f) e^{^}(jwt) dw      

              f(t)的傅里叶变换是F(w)：  （频域）   F(w)=^∫∞-∞  f(t) e^{^}(-jwt) dt          注意：因为是对t积分，所以没有换元积分，所以直接2∏f=w

      即

            时域<-->频域

   （2）矩形脉冲:  高不一定为1（高为A的脉冲，矩形的，宽度ζ）

          单脉冲: 门函数 g_a(t)的频谱密度= Aζ Sa(wζ/2)，零点是 1/ζ,2/ ζ, 3/ζ,...-------g_a(t)↔Aζ Sa(∏fζ) =Aζ Sa(wζ/2)     

                                              注意：I.如果是G_a(w)~w图像，w=2∏f，频谱零点w=2∏/ζ，4∏/ζ，...

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 II.频谱的第一个零点=时域信号的  2pi*高/宽度   

         周期性冲击串：∑A g_a(t-nT)  ↔/////////

（3）(单位)冲激函数δ(t)（高为1）的频谱密度  =1 （叫 均匀谱，又叫白色谱）--------------------------即  δ(t)↔1

                                     注意：δ(t)是偶函数。所以δ(t-t₀)=δ(t₀-t)     

                                     δ函数在t=t₀对f(t)的抽样f(t₀)   =^∫∞-∞  f(t)δ(t-t₀) dt  ，证明：

                                              ^∫∞-∞  f(t)δ(t-t₀) dt  =  ^∫∞-∞  f(t)δ(t₀-t) dt = ^∫_t0-t0+  f(t)δ(t₀-t) dt = ^∫_t0-t0+  f(t₀)δ(t₀-t) dt =f(t₀)^∫_t0-t0+ δ(t₀-t) dt = f(t₀)

（4）直流信号f(t)=1 的频谱密度= 2∏ δ（w）-----------------------即1 ↔ 2∏ δ（w）                                  

（5）功率信号(只说周期信号)的频谱密度：认为T→∞，引入冲激函数表示频谱

        I（周期信号）余弦信号 f(t)=cos 2∏f₀t =  cos w₀t =(1/2) [e^jw0t + e^(-jw0t)]  ↔  ∏[δ(w-w₀)+δ(w+w₀)]

        II（周期信号）正弦信号 f(t)=sin 2∏f₀t =  sin w₀t =(1/ 2j) [e^jw0t - e^(-jw0t)]  ↔  (∏/j)[δ(w-w₀)-δ(w+w₀)]-----是复数，带相位j，所以一般不选用。

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傅里叶变换性质

1.对称性：   f(t)↔F(w) 

                 F(t)↔2∏ f(-w)             ------时域有限↔频域无限 ，时域无限↔频域有限

2.线性：      f_i(t)↔F_i(w) ，i=1,2...

                 F_i(t)↔2∏ f_i(-t)   

3.比例性:     f(t)↔F(w) 

                 f(at)↔(1/|a|) F(w/a)     ------时域越宽↔频域越窄 ，时域越窄↔频域越宽

4.频率搬移特性：（调制概念）

f(t) eˆ(jw₀t) ↔   F(w-w₀)                      ------jw₀t中有相位j，所以不常使用eˆ(jw₀t)作为调制信号

f(t) cosw₀t   ↔  ½ [F(w-w₀)+F(w+w₀)]   ------将f(t)搬到了以w₀为中心（比如搬到高频点）

5.时移性：（时移了一个信号，幅度谱F(w)没变，相位谱变了一个-w₀t）

f(t-t₀)↔F(w) eˆ(-jw₀t)

6.微分特性 ：（相当于经过了一个RC电路）

7.积分特性

8.时域卷积：（输入信号f(t)经过系统信号f2(t)（传输函数H(w)=F2(w)）后的输出信号R(t)就是f₁f_2的卷积）（因为按照时域分析比较复杂，所以转换到频域分析）

f₁(t)*f2(t)↔F₁(w) F₂(w)

f₁(t) f2(t)↔(1/2∏) [F₁(w) * F₂(w)]

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一些证明：（如果有些重要的公式记不牢的话，可以帮助记忆）

1.  f(t)=1 ↔ F(w)=2∏δ(w)

    证：   f(t)=(1/2∏)^{∫∞-∞ _{2∏ δ(w) e^(jwt) dw}}

2.  周期性冲激函数：δ_T(t)=Σ _{n=-∞^{∞ δ(t-nT)}}        

                              因为单位冲击串δ(t)的(傅里叶级数的系数)   F(w)=(1/T) ∫（-½T）^{（½T）δ(t) e^(-jnw₀t) dt = 1/T}

   所以，  δT(t)= (1/T)Σ n=-∞∞ e^(jnw0t)    ↔FT(w) =  w0 Σ n=-∞∞  δ(w-nw0)

   所以，周期性冲击串（高为1）的 傅里叶变换F(w)~w 也是 周期性冲击串 (高为w0=2∏/T)！！

3.周期性矩形脉冲： GT(t)= Σ n=-∞∞ G(t-nT) 

因为门函数G(t)（高为A=1）的（傅里叶级数的系数）F(w)=(1/T) ∫（-½T）^{（½T）G(t) e^(-jnw₀t) dt =(ζ/T)Sa(nw_0ζ/2)    ζSa(w_0ζ/2)}

所以，  G_T(t)= (ζ/T)Σ _n=-∞^∞ Sa(nw0ζ/2) ^{e^(jnw₀t)    ↔ F_T(w)=  w₀ Σ _n=-∞∞}  δ(w-nw₀)

4.图像

（1）单位冲激函数 的F(w)~w 是 高为1的均匀谱，

 直流信号f(t)=1 的F(w)~w 是 高为2∏的冲激函数，

  即：   单位冲激函数图像 ↔ 直流信号的图像 

           直流信号的图像 ↔ 单位冲激函数图像（高为1）

（2）门函数 的F(w)~w 是 抽样函数的拉伸，经过点(0,ζ)  (1/ζ,0) (2/ζ,0) ...图像是连续谱

       周期矩形信号的F(w)~w 是 抽样函数的拉伸...F(w)图像是离散谱， 在X=nw₀处取值，n=0,+/- 1,+/- 2,...

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习题易错点点拨：

1.求功率信号s(t)的频谱：

功率信号和它的频谱函数 不是傅里叶变换对！

S(w)是s(w)展开成傅里叶级数的系数，只能用系数的表达式求得。

2.指数函数的模：

cosx+ j sinx =e^^jx 

cosx- j sinx =e^-^jx

所以，|e^^jx|=|e^-^jx|=1

3. 

1/j= -j