关于 128 ，+128，0，+0，1 的反码补码

一.反码的范围

反码表示法规定：正数的反码与其原码相同。负数的反码是对其原码逐位取反，但符号位除外。

在规定中，8位二进制码能表示的反码范围是-127~127。

此时（字长为8位）, -128没有原码和反码（只有补码）。

那么，为什么规定字长8位时-128没有原码和反码呢?下面解释。

首先看-0，[-0]原码=1000 000，其中1是符号位，求反操作，算出[-0]反码=1111 1111，

再看-128，假如它有原码且[-128]原码=1000 000，假如让-128也有反码，求反操作，则[-128]反码=1111 1111，

你会发现，-128的反码和-0的反码相同，所以为了避免面混淆，有了-0的原码，便不能有-128的原码补码，这是8位比特位位数限制决定的。

二.原码 反码 补码的范围

前提：字长是8位二进制数。

原码  -127~127      （-128没有原码反码，原因看前面解释~）

反码  -127~127

补码  -128~127

对于n位二进制数：

你会发现，补码比其它码多一位，这是为什么呢？问题出在0上。

[+0]原码=0000 0000，   [-0]原码=1000 0000

[+0]反码=0000 0000，   [-0]反码=1111 1111

[+0]补码=0000 0000，   [-0]补码=0000 0000   

你会发现，+0和-0的补码是一样的。即 0的补码只有一种表示。

这里解释一下[-0]补码是怎么得来的。

负数的补码就是反码整体加一。符号位上的进位舍弃。（所以，舍弃了符号位的补码的第一位是数值位，不是符号位，符号位舍弃了）

另外解释一下原码符号位和补码符号位的关系，补码的符号位不是保持原码的第一位不变，而是 符号位不变，[-0]反码的第一个1是符号位，尾数中的7个1是数值位，尾数加一后，数值位产生了进位，1111 1111+1=1 0000 0000（计算补码的过程中，并不是先保证第一位不变，而是保证符号位不变，保证补码规则是反码整体加一）。

所以，补码能表示的数的个数中，比原码反码少了一个，所以补码可以多表示一个真值为-128的数。

但是，多表示的这个数-128比较特殊，只有原码和补码，没有反码。

-128的补码是1000 0000。

三.-128的补码为什么是1000 0000

8位二进制的原值表达范围为：-127至127

共有256个组合序列 0000 0000 至1111 1111 。
+128的原值在8位中是表达不出来的。

 

下面从两个角度理解-128的补码为什么是1000 0000.

（1）从补码的意义上去理解 

因为：256-128=256+(-128)的补码 --机器中只有加法。减法会变成补码的加法。

而      256-128=128 
所以   256+（-128）的补码=128 
所以           （-128）的补码=256-128 
                                     =128 
数学上， 128=1000 0000 
故规定-128的补码为 1000 0000 

注意：只是规定而已，下面还有原因。

 

8位二进制 的补码组合序列有256个
0000 0000 - 0111 1111    0 ~+127
1000 0000                       用来干啥好呢？                              

1000 0001 - 1111 1111    -1~-127

再看看这个规律表
   原码            补码         值
0111 1111   0111 1111   +127
0111 1110   0111 1110   +126
     ...          .. 补码不断-1...
0000 0000   0000 0000     0
1000 0001   1111 1111    -1
1000 0010   1111 1110    -2
1000 0011   1111 1101    -3
    ...          .. 补码不断-1...
1111 1111   1000 0001 -127
无法表达     1000 0000 -128

 

于是就有了规定 1000 0000 定为 -128的补码
这种定法和上面数学层面的表述是一致的。

这样规定后，负数的补码在机器中就好算了。

 

计算方法上是：
将该负数取绝对值,再用二进制表示出这个绝对值 (不管符号位！）
对该二进制数进行取反加一操作就得到负数的补码了 （也就是求补操作！）
-128 绝对值是 128 
128的二进制表示为: 
1000 0000 
取反 
0111 1111 
加1 
1000 0000 
这就是-128的补码 
这种办法算出的结果符合“规定值”。

四.

    1字节 = 8位，所以它能表示的最大数当然是8位都是1（既然2进制的数只能是0或1,如果是我们常见的10进制，那就8位都为9，这样说，你该懂了？）

1字节的二进制数中，最大的数：11111111。

     双字节共16位。 1111111111111111。双字节数最大值为：

1 * 2¹⁵ + 1 *2¹⁴ + 1* 2¹³ + 1 * 2¹² + 1 * 2¹¹ + 1 * 2¹⁰ + …… + 1 * 2² + 1 * 2¹ + 1* 2⁰ = 65535

负数在计算机中如何表示呢？

这一点，你可能听过两种不同的回答。

一 种是教科书，它会告诉你：计算机用“补码”表示负数。可是有关“补码”的概念一说就得一节课，这一些我们需要在第6章中用一章的篇幅讲2进制的一切。再 者，用“补码”表示负数，其实是一种公式，公式的作用在于告诉你，想得到问题的答案，应该如何计算。却并没有告诉你为什么用这个公式就可以得到答案！ -----我就是被这个弄混淆的>_<

另 一种是一些程序员告诉你的：用二进制数的最高位表示符号，最高位是0，表示正数，最高位是1，表示负数。这种说法本身没错，可是如果没有下文，那么它就是 错的。至少它不能解释，为什么字符类型的-1用二进制表示是“1111 1111”(16进制为FF)；而不是我们更能理解的“1000 0001”。（为什么说后者更好理解呢？因为既然说最高位是1时表示负数，那1000 0001不是正好是-1吗？-----re！当初偶就是这么想的，so一直在脑中打架，越打越混淆＝，＝）。

让我们从头说起。

2.1、你自已决定是否需要有正负。

就像我们必须决定某个量使用整数还是实数，使用多大的范围数一样，我们必须自已决定某个量是否需要正负。如果这个量不会有负值，那么我们可以定它为带正负的类型。

在计算机中，可以区分正负的类型，称为有符类型，无正负的类型（只有正值），称为无符类型。

数值类型分为整型或实型，其中整型又分为无符类型或有符类型，而实型则只有有符类型。

字符类型也分为有符和无符类型。

比如有两个量，年龄和库存，我们可以定前者为无符的字符类型，后者定为有符的整数类型。

　3、无符号数和有符号数的范围区别。

　 同样是一个字节，无符号数的最大值是255，而有符号数的最大值是127。原因是有符号数中的最高位被挪去表示符号了。并且，我们知道，最高位的权值也是最高的（对于1字节数来说是2的7次方=128），所以仅仅少于一位，最大值一下子减半。

不过，有符号数的长处是它可以表示负数。因此，虽然它的在最大值缩水了，却在负值的方向出现了伸展。我们仍一个字节的数值对比：

无符号数：                       0 ----------------- 255

有符号数：                      -128 ----- 0  ----- 127

　

同样是一个字节，无符号的最小值是 0 ，而有符号数的最小值是-128。所以二者能表达的不同的数值的个数都一样是256个。只不过前者表达的是0到255这256个数，后者表达的是-128到+127这256个数。

一个有符号的数据类型的最小值是如何计算出来的呢？

有符号的数据类型的最大值的计算方法完全和无符号一样，只不过它少了一个最高位（见第3点）。但在负值范围内，数值的计算方法不能直接使用1* 2⁶ + 1* 2⁵ 的公式进行转换。在计算机中，负数除为最高位为1以外，还采用补码形式进行表达。所以在计算其值前，需要对补码进行还原。这里，先直观地看一眼补码的形式：

以我们原有的数学经验，在10进制中：1 表示正1，而加上负号：-1 表示和1相对的负值。

那么，我们会很容易认为在2进制中（1个字节）： 0000 0001 表示正1，则高位为1后：1000 0001应该表示-1。

然而，事实上计算机中的规定有些相反，请看下表：

二进制值（1字节）	十进制值
1000 0000红色的1代表负数蓝色的是补码(补码=反码+1)	-128
1000 0001蓝色部分代表多大的值？：将补码还原为原码	-127想化成负数？：先减去1再按位取反
1000 0010还原方法：补码-1再取反	-126
1000 0011	-125
...	...
1111 1110	-2
1111 1111	-1

　

首先我们看到，从-1到-128，其二进制的最高位都是1（表中标为红色），正如我们前面的学。

然后我们有些奇怪地发现，1000 0000 并没有拿来表示 -0；而1000 0001也不是拿来直观地表示-1。事实上，-1 用1111 1111来表示。

怎么理解这个问题呢？先得问一句是-1大还是-128大？

当 然是 -1 大。-1是最大的负整数。以此对应，计算机中无论是字符类型，或者是整数类型，也无论这个整数是几个字节。它都用全1来表示 -1。比如一个字节的数值中：1111 1111表示-1，那么，1111 1111 - 1 是什么呢？和现实中的计算结果完全一致。1111 1111 - 1 = 1111 1110，而1111 1110就是-2。这样一直减下去，当减到只剩最高位用于表示符号的1以外，其它低位全为0时，就是最小的负值了，在一字节中，最小的负值是1000 0000，也就是-128。

--------小米批注：就是这部分蓝色的文字，让我终于能记清楚-1的编码方式了，汗＝。＝

我们以-1为例，来看看不同字节数的整数中，如何表达-1这个数：

字节数	二进制值	十进制值
单字节数	1111 1111红色表示负数蓝色部分的补码为值1	-1
负数：原码就是原来的表示方法、反码是除符号位（最高位）外取反、补码=反码+1双字节数	1111 1111 1111 1111	-1
四字节数	1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111	-1

可 能有同学这时会混了：为什么 1111 1111 有时表示255，有时又表示-1？

所以我再强调一下本节前面所说的第2点：你自已决定一个数是有符号还是无符号的。写程序时，指定一个量是有符号的，那么 当这个量的二进制各位上都是1时，它表示的数就是-1；相反，如果事先声明这个量是无符号的，此时它表示的就是该量允许的最大值，对于一个字节的数来说， 最大值就是255。

ok 摘抄暂告段落，其实原文对于c的一些基础数据类型知识介绍的非常详细，8过太长了，摘到我需要的内容后就没全帖过来，如果有需要学习的同学，建议参见原文：）

转自http://blog.cersp.com/7892477/1201309.aspx

什么叫机器数？计算机为什么要采用补码？

    在计算机内部，所有信息都是用二进制数串的形式表示的。整数通常都有正负之分，计算机中的整数分为无符号的和带符号的。无符号的整数用来表示0和正整数， 带符号的证书可以表示所有的整数。由于计算机中符号和数字一样，都必须用二进制数串来表示，因此，正负号也必须用0、1来表示。通常我们用最高的有效位来 表示数的符号（当用8位来表示一个整数时，第8位即为最高有效位，当用16位来表示一个整数时，第16位即为最高有效位。）0表示正号、1表示负号，这种 正负号数字化的机内表示形式就称为“机器数”，而相应的机器外部用正负号表示的数称为“真值”。将一个真值表示成二进制字串的机器数的过程就称为编码。

    无符号数没有原码、反码和补码一说。只有带符号数才存在不同的编码方式。

带符号整数有原码、反码、补码等几种编码方式。原码即直接将真值转换为其相应的二进制形式，而反码和补码是对原码进行某种转换编码方式。正整数的原 码、反码和补码都一样，负数的反码是对原码的除符号位外的其他位进行取反后的结果（取反即如果该位为0则变为1，而该位为1则变为0的操作）。而补码是先 求原码的反码，然后在反码的末尾位加1 后得到的结果，即补码是反码+1。IBM-PC中带符号整数都采用补码形式表示。（注意，只是带符号的整数采用补码存储表示的，浮点数另有其存储方式。）

    采用补码的原因或好处如下。

    采用补码运算具有如下两个特征：

    1）因为使用补码可以将符号位和其他位统一处理，同时，减法也可以按加法来处理，即如果是补码表示的数，不管是加减法都直接用加法运算即可实现。

    2）两个用补码表示的数相加时，如果最高位（符号位）有进位，则进位被舍弃。

    这样的运算有两个好处：

    1）使符号位能与有效值部分一起参加运算，从而简化运算规则。从而可以简化运算器的结构，提高运算速度；（减法运算可以用加法运算表示出来。）

    2）加法运算比减法运算更易于实现。使减法运算转换为加法运算，进一步简化运算器线路设计。

    下面深入分析上面所陈述的采用补码的原因（目的）。

    用带符号位的原码进行乘除运算时结果正确,而在加减运算的时候就出现了问题，如下：假设字长为8bits

    1  D- 1 D = 1 D + ( -1 )D = ( 0 )D

    (00000001)原 + (10000001)原 = (10000010)原 = ( -2 ) 显然不正确.。

    因为在两个整数的加法运算中是没有问题的，于是就发现问题出现在带符号位的负数身上，对除符号位外的其余各位逐位取反就产生了反码。反码的取值空间和原码相同且一一对应。下面是反码的减法运算：

      1  D- 1 D = 1 D + ( -1 )D = ( 0 )D

     (00000001) 反+ (11111110)反 = (11111111)反 = ( -0 ) 有问题。

      1  D - 2 D= 1 D+ ( -2 )D = ( -1 )D

     (00000001) 反+ (11111101)反 = (11111110)反 = ( -1 ) 正确

    问题出现在(+0)和(-0)上，在人们的计算概念中零是没有正负之分的。

于是就引入了补码概念。负数的补码就是对反码加一，而正数不变，正数的原码反码补码是一样的。在补码中用(-128)代替了(-0)，所以补码的表示范围为：

(-128~0~127)共256个。

   

    采用补码表示还有另外一个原因，那就是为了防止0的机器数有两个编码。原码和反码表示的0有两种形式+0和-0，而我们知道，+0和-0是相同的。这 样，8位的原码和反码表示的整数的范围就是-127~+127（11111111~01111111），而采用补码表示的时候，00000000是+0， 即0；10000000不再是-0，而是-128，这样，补码表示的数的范围就是-128~+127了，不但增加了一个数得表示范围，而且还保证了0编码 的唯一性。

接下来的问题是，如何能将减法运算转换成加法运算呢？

    我们已经知道，原码表示简单直观，与真值转换容易。但如果用原码表示，其符号位不能参加运算。在计算机中用原码实现算术运算时，要取绝对值参加运算，符号位单独处理，这对乘除运算是很容易实现的，但对加减运算是非常不方便的，如两个异号数相加，实际是要做减法，而两个异号数相减，实际是要做加法。在做减法时，还要判断操作数绝对值的大小，这些都会使运算器的设计变得很复杂。而补码这种编码方式实际上正是针对上述问题的。通过用补码进行表示，就可以把减法运算化为加法运算。

    在日常生活中，有许多化减为加的例子。例如，时钟是逢12进位，12点也可看作0点。当将时针从10点调整到5点时有以下两种方法：

    一种方法是时针逆时针方向拨5格，相当于做减法：

        10－5＝5

    另一种方法是时针顺时针方向拨7格，相当于做加法：

      10＋7＝12＋5＝5    (MOD 12)

    这是由于时钟以12 为模，在这个前提下，当和超过12时，可将12舍去。于是，减5相当于加7。同理，减4可表示成加8，减3可表示成加9，…。

    在数学中，用“同余”概念描述上述关系，即两整数A、B用同一个正整数M (M称为模)去除而余数相等，则称A、B对M同余，记作：

       A＝B     (MOD M)

    具有同余关系的两个数为互补关系，其中一个称为另一个的补码。当M＝12时，－5和＋7，－4和＋8，－3和＋9就是同余的，它们互为补码。

    从同余的概念和上述时钟的例子，不难得出结论：对于某一确定的模，用某数减去小于模的另一个数，总可以用加上“模减去该数绝对值的差”来代替。因此，在有模运算中，减法就可以化作加法来做。

    可以看出，补码的加法运算所依据的基本关系为：

[x]补+ [y]补= [x+y]补

    补码减法所依据的基本关系式：

[x-y]补 =[x+(-y)]补= [x]补+ [-y]补  

    至于加法运算为什么比减法运算易于实现以及CPU如何实现各种算术运算等问题，则需要通过对数字电路的学习来理解CPU的运算器的硬件实现问题的相关内容了。

五.

1.一个二进制数的补码的补码就是原码！！！

比如：真值-3，原码1000 0011，补码1111 1101，

原码1111 1101，补码1000 0011。 

也可以从补码的数学含义理解。

2.几个特殊的补码记忆：（一般是8位，不是8位和8的倍数位的，在实际应用中没有意义，所以一般都是变换成成8位的二进制数。因为实际应用中，一般都是补码表示，所以着重记忆补码）

     0的补码是0000 0000

    -1的补码是1111 1111    -1的原码是1000 0001

-128的补码是1000 0000

+1的补码是其原码。

+1~+127的补码都是原码。补码逐渐加一。

-1~-127的补码都是其反码加一。补码逐渐加一。

虽然补码的原码是多少 不够直观，但是补码反映出的负数的大小是直观的，补码大小顺序和真值保持一致。

负数真值中，-1最大，-128最小，

负数补码中，-1补码是1111 1111，...，-127补码是1000 0001，-128补码是1000 0000，

在负数的补码中，直观上可以看出，-1的补码是最大的：1111 1111， -128的补码是最小的：1000 0000。

3.

80H的补码是多少？

因为有补码，所以是有符号数。80H即原码1000 0000，即真值-0，所以80H的补码是0000 0000。

 六.+128

8位二进制数时，表示不下+128，16位二进制数时可以表示。因为+128=0001 0000 0000

8位二进制数的原码范围是-127~-0，+0,~127，反码是-127~-0，+0~+127，补码范围是-128~0~+127。范围都是256个整数。

不包括+128。-128也只在补码表示中有。-128的原码和反码在8位二进制数时也都没有，在16位及以上可以表示。

七.探究求补码的最好的方法

-0的原码是 1000 0000，反码 1111 1111， 补码 0000 0000，可以反码加一，可以对-1求补操作。

-3的原码是 1000 0011，反码 1111 1100 ，补码 1111 1101，可以反码加一，可以对-3求补操作。

-128原码是 没有            反码 没有              补码 1000 0000                      可以对-128求补操作。

由上面三个例子可以看出，求补码的最快捷的方法，第一位不变什么的 只适用于不是-1 -128的大部分数！

最统一的方法，应该是：

有反码的，反码加一（其中，符号位有进位的 舍弃符号位 只保留数值位。比如-0的补码。更重要的是-0的补码 是规定），或者求补操作。

没有反码的，求补操作。比如-128。

所以说，求补操作，才是对-128~+127唯一全部使用的求补码的方法。

这样也就解释了，为什么所有补码都可以用补码减法运算了，因为求补操作对所有真值都适用。

求补操作：就是求（负数的）补码

求补操作：不管符号位（不是符号位保持不变！也不是第一位保持不变！就是只用负数的绝对值，根本没用到符号位），取负数（真值）的绝对值（即将负数的符号位变为0），对绝对值按位取反（可以认为绝对值是无符号数），然后加一。就得到了负数的补码。

求补操作对于求-0，-128也都适用。

例子：求3CH-90H。分为有符号数和无符号数时。

           0011 1100             

       -  1001 0000

----------------------      

3CH 和90H 不是真值！只有十进制是真值，而 十六进制或者八进制 都是为了书写二进制码方便。所以才说3CH可能是无符号数 也可能是有符号数！

3CH 和90H 就是两个二进制码！这两个二进制码可能是无符号数或者有符号数！

二进制码（二进制数）分为有符号数和无符号数。

有符号数时，X-Y=X+（-Y）补，所以，求-90H的补码，即求-1001 0000的补码。即对-1001 0000求补操作！不是对1001 0000求补操作！90H是绝对值，-90H是真值，1001 0000是绝对值的二进制码。

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这里解释一下题目要求的意思：

（1）机器只认识二进制。十六进制和八进制是为了人书写简洁而设立的。

（2）有符号数和无符号数说的都是二进制数（二进制码）。

3CH的二进制码是唯一的，但是当它是有符号数时和是无符号数时 的真值显然是不同的。