【LeetCode-动态规划】买卖股票的最佳时机 III

题目描述

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。

注意: 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例：

输入: [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出: 6
解释: 在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
     随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。

题目链接： https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iii/

思路

使用动态规划：

• 状态定义：dp[天数][是否持有股票][卖出次数]，所以形状为 dp[n][2][3]，其中 n 是天数。例如，dp[2][1][1] 表示在第 3 天持有一只股票（当天持有或者之前持有）并卖出一只股票（当天卖出或之前卖出）所获得的最大利润；

• 状态转移：

  • dp[i][0][0] = 0，既没有买入也没有卖出，所以收益为 0；
  • dp[i][0][1] = max(dp[i-1][0][1], dp[i-1][1][0]+prices[i])，含义是第 i 天不持有股票并卖出一次股票的最大利润等于前一天不持有股票并卖出股票的利润（dp[i-1][0][1]）和今天持有一只股票并卖出（dp[i][1][0]+prices[i]）的利润的较大者；
  • dp[i][0][2] = max(dp[i-1][0][2], dp[i-1][1][1]+prices[i])，含义类似于上面的解释；
  • dp[i][1][0] = max(dp[i-1][1][0], dp[i-1][0][0]-prices[i])，含义是第 i 天持有一只股票且没有卖出过的利润等于前一天持有股票且没有卖出过的利润和当天买入一直股票利润之间的较大者；
  • dp[i][1][1] = max(dp[i-1][1][1], dp[i-1][1][0]-prices[i])，含义类似于上面的解释；
  • dp[i][1][2] = 0，因为已经卖出过 2 次股票，所以再买入也没有意义。

• 初始化：

  • dp[0][0][0] = 0;
  • dp[0][0][1] = 0;
  • dp[0][1][0] = -prices[0];
  • dp[0][1][1] = -prices[0];
  • dp[0][1][2] = -prices[0];

代码如下：

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        if(prices.empty()) return 0;

        int n = prices.size();
        int dp[n][2][3];
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        dp[0][0][0] = 0;
        dp[0][1][0] = -prices[0];
        
        dp[0][0][1] = 0;
        dp[0][0][2] = 0;
        dp[0][1][1] = -prices[0];
        dp[0][1][2] = -prices[0];

        for(int i=1; i<n; i++){
            dp[i][0][0] = 0;
            dp[i][0][1] = max(dp[i-1][0][1], dp[i-1][1][0]+prices[i]);
            dp[i][0][2] = max(dp[i-1][0][2], dp[i-1][1][1]+prices[i]);
            dp[i][1][0] = max(dp[i-1][1][0], dp[i-1][0][0]-prices[i]);
            dp[i][1][1] = max(dp[i-1][1][1], dp[i-1][0][1]-prices[i]);
            dp[i][1][2] = 0;
        } 
        return max(0, max(dp[n-1][0][1], dp[n-1][0][2]));
    }
};

思路2

思路 1 使用了 3 维数组来表示状态，可以两维数组对状态进行压缩。

• 状态定义：dp[天数][状态]，具体是 dp[n][5]，也就是 5 种状态：0：未交易、1：买入 1 次、2：交易完成一次、3：买入两次、4：交易完成两次。

• 状态转移：

  • dp[i][0] = 0，第 i 天没有交易，所以利润是 0；
  • dp[i][1] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][0]-prices[i])，当天买入一次的收益等于之前买入一次的收益和当前买入一次收益的较大者；
  • dp[i][2] = max(dp[i-1][2], dp[i-1][1]+prices[i])，当天完成一次交易的收益等于之前完成一次交易的收益和当天完成一次交易收益的较大者；
  • dp[i][3] = max(dp[i-1][3], dp[i-1][2]-prices[i])；
  • dp[i][4] = max(dp[i-1][4], dp[i-1][3]+prices[i]);

• 初始化：

  • dp[0][0] = dp[0][2] = dp[0][4] = 0;
  • dp[0][1] = dp[0][3] = -prices[0];

代码如下：

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        if(prices.empty()) return 0;

        int n = prices.size();
        int dp[n][5];
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        dp[0][0] = dp[0][2] = dp[0][4] = 0;
        dp[0][1] = dp[0][3] = -prices[0];
        for(int i=1; i<n; i++){
            dp[i][0] = 0;
            dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0]-prices[i]);
            dp[i][2] = max(dp[i-1][2], dp[i-1][1]+prices[i]);
            dp[i][3] = max(dp[i-1][3], dp[i-1][2]-prices[i]);
            dp[i][4] = max(dp[i-1][4], dp[i-1][3]+prices[i]);
        }
        return max(dp[n-1][2], dp[n-1][4]);
    }
};

思路3

直接使用一维数组表示状态。

• 状态定义：dp[5]，5 个状态和思路 2 一样；
• 状态转移：
  • 思路 2 的状态转移去掉第一维即可；
• 初始化：思路 2 初始化的第一维去掉即可；

代码如下：

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        if(prices.empty()) return 0;

        int n = prices.size();
        int dp[5];
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        dp[0] = dp[2] = dp[4] = 0;
        dp[1] = dp[3] = -prices[0];
        for(int i=1; i<n; i++){
            dp[0] = 0;
            dp[1] = max(dp[1], dp[0]-prices[i]);
            dp[2] = max(dp[2], dp[1]+prices[i]);
            dp[3] = max(dp[3], dp[2]-prices[i]);
            dp[4] = max(dp[4], dp[3]+prices[i]);
        }
        return max(dp[2], dp[4]);
    }
};

参考

1、https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iii/solution/tong-su-yi-dong-de-dong-tai-gui-hua-jie-fa-by-marc/
2、https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iii/solution/123-mai-mai-gu-piao-de-zui-jia-shi-ji-iii-by-sunny/