PCA 主成分分析法

目录

• 求解
• 高维数据 的主成分
• 代码封装

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主成分分析 Principal Component Analysis

• 一个非监督的机器学习算法
• 主要用于数据的降维
• 通过降维，可以发现更便于人类理解的特征
• 其他应用：可视化;去噪

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样本间距大，区分度就更佳明显

问题：如何找到让样本间间距最大的轴？

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如何定义样本间距？---- 使用方差（Varience）
方差表达式：
$ Var(x) = frac{1}{m} sum^m_{i=1}(x_i - overline{x})^2 $

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1. 将样例的均值为0 （demean）
   样本分布没有改变，只是坐标轴位置移动；这样样本在每个维度均值都为 0。

(x_i) 是已经映射到新的坐标轴的值，这个轴只有两个维度，此处这个轴的方向记为 (w = (w_1, w_2))；使得所有的样本，映射到 w 以后，方差值最大：

$Var(X_{project}) = frac{1}{m} sum^m_{i=1}( X^{(i)}{project} - overline{X}{project} )^2 $
可写为：
$Var(X_{project}) = frac{1}{m} sum^m_{i=1} || X^{(i)}{project} - overline{X}{project} ||^2 $

由于已经进行了demean，实际上 (overline{X}_{project} = 0)，所以上式可写为
$Var(X_{project}) = frac{1}{m} sum^m_{i=1} || X^{(i)}_{project} ||^2 $

到此 降维问题 转化成了 一个目标函数的最优化问题，使用梯度上升法解决

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求解

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高维数据 的主成分

求出第一主成分以后，如何求出下一个主成分？
数据进行改变，将数据在第一个主成分上的分量去掉，在新的数据上求第一主成分。

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高维向低维的映射

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代码封装

import numpy as np


class PCA:

    def __init__(self, n_components):
        """初始化PCA"""
        assert n_components >= 1, "n_components must be valid"
        self.n_components = n_components
        self.components_ = None

    def fit(self, X, eta=0.01, n_iters=1e4):
        """获得数据集X的前n个主成分"""
        assert self.n_components <= X.shape[1], 
            "n_components must not be greater than the feature number of X"

        def demean(X):
            return X - np.mean(X, axis=0)

        def f(w, X):
            return np.sum((X.dot(w) ** 2)) / len(X)

        def df(w, X):
            return X.T.dot(X.dot(w)) * 2. / len(X)

        def direction(w):
            return w / np.linalg.norm(w)

        def first_component(X, initial_w, eta=0.01, n_iters=1e4, epsilon=1e-8):

            w = direction(initial_w)
            cur_iter = 0

            while cur_iter < n_iters:
                gradient = df(w, X)
                last_w = w
                w = w + eta * gradient
                w = direction(w)
                if (abs(f(w, X) - f(last_w, X)) < epsilon):
                    break

                cur_iter += 1

            return w

        X_pca = demean(X)
        self.components_ = np.empty(shape=(self.n_components, X.shape[1]))
        for i in range(self.n_components):
            initial_w = np.random.random(X_pca.shape[1])
            w = first_component(X_pca, initial_w, eta, n_iters)
            self.components_[i,:] = w

            X_pca = X_pca - X_pca.dot(w).reshape(-1, 1) * w

        return self

    def transform(self, X):
        """将给定的X，映射到各个主成分分量中"""
        assert X.shape[1] == self.components_.shape[1]

        return X.dot(self.components_.T)

    def inverse_transform(self, X):
        """将给定的X，反向映射回原来的特征空间"""
        assert X.shape[1] == self.components_.shape[0]

        return X.dot(self.components_)

    def __repr__(self):
        return "PCA(n_components=%d)" % self.n_components