P3216 [HNOI2011]数学作业

题目描述

小 C 数学成绩优异，于是老师给小 C 留了一道非常难的数学作业题：

给定正整数 N 和 M ，要求计算Concatenate (1 .. N) Mod M 的值，其中 Concatenate (1 .. N) 是将所有正整数 1, 2, …, N顺序连接起来得到的数。例如，N = 13 , Concatenate (1 .. N)=12345678910111213 .小C 想了大半天终于意识到这是一道不可能手算出来的题目，于是他只好向你求助，希望你能编写一个程序帮他解决这个问题。

输入输出格式

输入格式：

 

从文件input.txt中读入数据，输入文件只有一行且为用空格隔开的两个正整数N和M，其中30%的数据满足1≤N≤1000000 ；100%的数据满足1≤N≤10^18 且1≤M≤10^9 .

 

输出格式：

 

输出文件 output.txt 仅包含一个非负整数，表示 Concatenate(1..N) Mod M 的值。

 

输入输出样例

输入样例#1： 

13 13

输出样例#1： 

4

Solution：

　　本题矩阵快速幂。

　　思路比较简单，范围内的10进制位权最多就18种。

　　对于每种位权下的递推：$f[i]=f[i-1]*10^p+i$

　　显然可以用矩阵去优化：

$egin{bmatrix}f[i] & i+1 & 1end{bmatrix}$ $ imes$ $egin{bmatrix} 10^p &0 &0 \ 1& 1&0 \ 0& 1&1 end{bmatrix}$ $ ightarrow$ $egin{bmatrix}f[i+1]& i+2 & 1end{bmatrix}$

代码：

/*Code by 520 -- 10.8*/
#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define ll long long
#define RE register
#define For(i,a,b) for(RE int (i)=(a);(i)<=(b);(i)++)
#define Bor(i,a,b) for(RE int (i)=(b);(i)>=(a);(i)--)
#define clr(p) memset(&p,0,sizeof(p))
using namespace std;
ll n,mod,base[20];
struct matrix{
    int r,c;ll a[3][3];
};

il matrix mul(matrix x,matrix y){
    matrix tp; clr(tp);
    tp.r=x.r,tp.c=y.c;
    For(i,0,x.r-1) For(j,0,y.c-1) For(k,0,x.c-1)
    tp.a[i][j]=(x.a[i][k]%mod*y.a[k][j]%mod+tp.a[i][j])%mod;
    return tp;
}

int main(){
    cin>>n>>mod;
    base[0]=1;
    For(i,1,18) base[i]=base[i-1]*10;
    matrix ans,tp; clr(ans),clr(tp);
    ans.r=1,ans.c=3; ans.a[0][0]=0,ans.a[0][1]=1,ans.a[0][2]=1;
    tp.r=tp.c=3; tp.a[1][0]=tp.a[1][1]=tp.a[2][1]=tp.a[2][2]=1;
    ll pos=0,k=0; int cnt=0;
    while(pos<n){
        if(n>=base[cnt+1]) k=base[cnt+1]-base[cnt];
        else k=n-base[cnt]+1;
        pos+=k;ans.a[0][1]=base[cnt]%mod;
        clr(tp),tp.r=tp.c=3;
        tp.a[0][0]=base[cnt+1]%mod;
        tp.a[1][0]=tp.a[1][1]=tp.a[2][1]=tp.a[2][2]=1;
        while(k){
            if(k&1) ans=mul(ans,tp);
            k>>=1,tp=mul(tp,tp);
        }
        cnt++;
    }
    cout<<ans.a[0][0];
    return 0;
}