题目描述
Longge的数学成绩非常好，并且他非常乐于挑战高难度的数学问题。现在问题来了：给定一个整数N，你需要求出∑gcd(i, N)(1<=i <=N)。
输入输出格式
输入格式：
一个整数，为N。
输出格式：
一个整数，为所求的答案。
输入输出样例
输入样例#1：
6
输出样例#1：
15
说明
对于60%的数据，0<N<=2^16
对于100%的数据，0<N<=2^32
Solution：
本题数学。
设$f(x)$表示范围内$gcd(i,j)=x$的数的个数，则$f(x)=sum_limits{i=1}^{ileq n}{(gcd(i,n)=x)};=;sum_limits{i=1}^{ileq frac{n}{x}}{x*(gcd(i,frac{n}{x})=1)};=;x*varphi (frac{n}{x})$。
所以原式$=sum_limits{i|n}^{ileq n}{i*varphi (frac{n}{i})}$。
于是直接暴力根号枚举n的因子，然后暴力根号筛$varphi$ 求解就好了，时间复杂度$O(n^{frac{3}{4}})$（注意开long long，被坑惨了）。
代码：
/*Code by 520 -- 9.20*/ #include<bits/stdc++.h> #define il inline #define ll long long #define RE register #define For(i,a,b) for(RE int (i)=(a);(i)<=(b);(i)++) #define Bor(i,a,b) for(RE int (i)=(b);(i)>=(a);(i)--) using namespace std; ll n; ll ans; ll phi(ll x){ ll ans=x; for(ll i=2;i*i<=x;i++) if(x%i==0) { while(x%i==0) x/=i; ans=ans/i*(i-1); } if(x>1) ans=ans/x*(x-1); return ans; } int main(){ cin>>n; ll i=1; for(i=1;i*i<n;i++) if(n%i==0) ans+=i*phi(n/i)+(n/i)*phi(i); if(i*i==n) ans+=i*phi(i); cout<<ans; return 0; }